Seja X = 1,5323232...um número decimal periódico no qual os dígitos 3 e 2 se repetem indefinidamente.... Pergunta de ideia deLeiciano77

November 2019 1 56 Report

Seja X = 1,5323232...um número decimal periódico no qual os dígitos 3 e 2 se repetem indefinidamente nesta ordem. Quando X é escrito como uma fração irredutível, o numerador excede o denominador de:
a) 527.
b) 472.
c) 381.
d) 295.
e) 257.

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Renrel

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Olá.

Temos uma dízima periódica que precisa ser transformada em uma fração geratriz.

A dízima é:

$\mathsf{x=1,5\overline{32}=1+5\overline{32}}$

Por conveniência, separei o valor inteiro do valor decimal. Para calcular a fração geratriz de uma dízima, seguimos as seguintes regras:

No numerador temos que identificar o período, que é a parte que se repete.

Em uma dízima composta, onde há números além do período (esses são chamados de antiperíodo), no numerador devemos subtrair o valor do antiperíodo de todo o conteúdo após a vírgula. Nesse caso, será 532 – 5.

No denominador, adicionamos um 9 para cada valor que se repete no período (nesse caso, serão dois 9) e um zero na direita para cada valor existente no antiperíodo (nesse caso, apenas um 0).

Montando a fração geratriz, teremos:

$\mathsf{x=1+0,5\overline{32}}\\\\\\
\mathsf{x=1+\dfrac{532-5}{990}}\\\\\\ \mathsf{x=1+\dfrac{527}{990}}$

Agora, temos de somar o valor inteiro a fração. Por ser mais rápido, multiplicarei 1 por uma fração onde o numerador e o denominador é 990, para que sejam igualados os denominadores. Teremos:

$\mathsf{x=1+\dfrac{527}{990}}\\\\\\
\mathsf{x=1\cdot\dfrac{990}{990}+\dfrac{527}{990}}\\\\\\
\mathsf{x=\dfrac{990}{990}+\dfrac{527}{990}}\\\\\\
\mathsf{x=\dfrac{990+527}{990}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1.517}{990}}$