Resposta: E = 15/64.

[tex]~[/tex]

Explicação passo a passo:

Deseja-se determinar o valor da soma:

[tex]\text{$E=\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{144}+\dfrac{9}{400}+\dfrac{11}{900}+\dfrac{13}{1764}+\dfrac{15}{3136}$}[/tex]

[tex]~[/tex]

Podemos perceber que há alguns padrões em seus termos.

[tex]~[/tex]

1º - Denominadores

Observe que estes números são quadrados perfeitos:

[tex]\text{$E=\dfrac{5}{6^2}+\dfrac{7}{12^2}+\dfrac{9}{20^2}+\dfrac{11}{30^2}+\dfrac{13}{42^2}+\dfrac{15}{56^2}$}[/tex]

Com isso, podemos reescrever as bases de forma que podemos perceber outro padrão:

[tex]\begin{array}{l}E=\dfrac{5}{(2\cdot3)^2}+\dfrac{7}{(3\cdot4)^2}+\dfrac{9}{(4\cdot5)^2}+\dfrac{11}{(5\cdot6)^2}+\dfrac{13}{(6\cdot7)^2}+\dfrac{15}{(7\cdot8)^2}\\\\E=\dfrac{5}{2^2\cdot 3^2}+\dfrac{7}{3^2\cdot 4^2}+\dfrac{9}{4^2\cdot 5^2}+\dfrac{11}{5^2\cdot 6^2}+\dfrac{13}{6^2\cdot 7^2}+\dfrac{15}{7^2\cdot 8^2}\end{array}[/tex]

[tex]~[/tex]

2º - Numeradores

A fim de trazer algo em comum aos denominadores, podemos reescrever os numeradores como a diferença entre dois quadrados, encontrando mais um padrão:

[tex]\text{$E=\dfrac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}+\dfrac{4^2-3^2}{3^2\cdot 4^2}+\dfrac{5^2-4^2}{4^2\cdot 5^2}+\dfrac{6^2-5^2}{5^2\cdot 6^2}+\dfrac{7^2-6^2}{6^2\cdot 7^2}+\dfrac{8^2-7^2}{7^2\cdot 8^2}$}[/tex]

[tex]~[/tex]

Agora vamos reescrever [tex]E[/tex] como a soma entre a diferença de frações. Para tal, pegarei o primeiro termo como exemplo. Decompondo-o em frações parciais:

[tex]\dfrac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}=\dfrac{A}{2^2}-\dfrac{B}{3^2}[/tex]

De modo a calcular isso, o denominador final será o produto entre os denominadores e o numerador final será a diferença entre os numeradores multiplicados pelo denominador da outra fração. Isto é:

[tex]\dfrac{A}{2^2}-\dfrac{B}{3^2}=\dfrac{A\cdot 3^2-B\cdot 2^2}{2^2\cdot3^2}[/tex]

Como [tex]\frac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}=\frac{A\cdot 3^2-B\cdot2^2}{2^2\cdot 3^2}[/tex], por comparação:

[tex]3^2-2^2=A\cdot 3^2-B\cdot 2^2[/tex]

[tex]1\cdot 3^2-1\cdot2^2=A\cdot 3^2-B\cdot 2^2[/tex]

Logo, [tex]A=B=1[/tex]. Então pode-se concluir que:

[tex]\dfrac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}=\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}[/tex]

[tex]~[/tex]

Essa é a ideia que segue para todos os outros termos. Assim:

[tex]\text{$E=\bigg(\dfrac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{4^2-3^2}{3^2\cdot 4^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{5^2-4^2}{4^2\cdot 5^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{6^2-5^2}{5^2\cdot 6^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{7^2-6^2}{6^2\cdot 7^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{8^2-7^2}{7^2\cdot 8^2}\bigg)$}[/tex]

[tex]\text{$E=\bigg(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{4^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{4^2}-\dfrac{1}{5^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{5^2}-\dfrac{1}{6^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{6^2}-\dfrac{1}{7^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{7^2}-\dfrac{1}{8^2}\bigg)$}[/tex]

[tex]~[/tex]

Observe que há termos opostos de uma parcela para a outra, sendo então uma soma telescópica. Logo, podemos executar o cancelamento e calcular a diferença restante:

[tex]\text{$E=\bigg(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!3^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!3^2}-\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!4^2}\bigg)+\diagdown\!\!\!\!...+\bigg(\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!6^2}-\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!7^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!7^2}-\dfrac{1}{8^2}\bigg)$}[/tex]

[tex]\begin{array}{l}E=\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{8^2}\\\\ E=\dfrac{1\cdot 8^2-1\cdot 2^2}{2^2\cdot 8^2}\\\\ E=\dfrac{2^2\cdot(4^2-1)}{2^2\cdot 8^2}\\\\ E=\dfrac{4^2-1}{8^2}\\\\ E=\dfrac{16-1}{64}\\\\\boldsymbol{\blue{E=\dfrac{15}{64}}}\end{array}[/tex]

[tex]~[/tex]

Então o valor de [tex]E[/tex] é igual a 15/64.