Explicação passo a passo:
Cálculo de limites exponenciais.
Para a resolução desta tarefa, utilizaremos o seguinte resultado para o limite exponencial fundamental:
[tex]\displaystyle\lim_{u\to\pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}=e\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
De posse desta informação, mostrar que
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{1+x}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}.[/tex]
Tomemos o limite:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{1+x}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}[/tex]
Reescreva [tex]1+x=5+(x-4),[/tex] e separe as frações:
[tex]\displaystyle=\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{5+(x-4)}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}\\\\\\=\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{5}{5}+\frac{x-4}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}\\\\\\\\=\lim_{x\to 4}\left(1+\frac{x-4}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]
Faça a seguinte mudança de variável:
[tex]\dfrac{5}{x-4}=u\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{x-4}=\dfrac{u}{5}\\\\ \dfrac{x-4}{5}=\dfrac{1}{u}\end{array}\right.[/tex]
Analisando o comportamento da nova variável u, quando x tende a 4:
Analisando os limites laterais:
[tex]\displaystyle=\lim_{u\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\dfrac{u}{5}}\\\\\\=\lim_{u\to -\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=\left[\lim_{u\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=e^{1/5}\\\\=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}\qquad \mathrm{(iii)}[/tex]
[tex]\displaystyle=\lim_{u\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\dfrac{u}{5}}\\\\\\=\lim_{u\to +\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=\left[\lim_{u\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=e^{1/5}\\\\=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}\qquad \mathrm{(iv)}[/tex]
Os limites laterais convergem para o mesmo valor. Portanto, por (iii) e (iv) concluimos que
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{1+x}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}[/tex]
como queríamos.
Dúvidas? Comente.
Bons estudos!
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Cálculo de limites exponenciais.
Para a resolução desta tarefa, utilizaremos o seguinte resultado para o limite exponencial fundamental:
[tex]\displaystyle\lim_{u\to\pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}=e\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
De posse desta informação, mostrar que
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{1+x}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}.[/tex]
Tomemos o limite:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{1+x}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}[/tex]
Reescreva [tex]1+x=5+(x-4),[/tex] e separe as frações:
[tex]\displaystyle=\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{5+(x-4)}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}\\\\\\=\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{5}{5}+\frac{x-4}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}\\\\\\\\=\lim_{x\to 4}\left(1+\frac{x-4}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]
Faça a seguinte mudança de variável:
[tex]\dfrac{5}{x-4}=u\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{x-4}=\dfrac{u}{5}\\\\ \dfrac{x-4}{5}=\dfrac{1}{u}\end{array}\right.[/tex]
Analisando o comportamento da nova variável u, quando x tende a 4:
Analisando os limites laterais:
[tex]\displaystyle=\lim_{u\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\dfrac{u}{5}}\\\\\\=\lim_{u\to -\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=\left[\lim_{u\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=e^{1/5}\\\\=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}\qquad \mathrm{(iii)}[/tex]
[tex]\displaystyle=\lim_{u\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\dfrac{u}{5}}\\\\\\=\lim_{u\to +\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=\left[\lim_{u\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=e^{1/5}\\\\=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}\qquad \mathrm{(iv)}[/tex]
Os limites laterais convergem para o mesmo valor. Portanto, por (iii) e (iv) concluimos que
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{1+x}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}[/tex]
como queríamos.
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