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Resposta:

Então, x = e^(1/7) é a solução da equação (log (x))^7 = log (x^7)

Explicação passo a passo:

A equação (log (x))^7 = log (x^7) pode ser simplificada como log(x^7) = 7*log(x).

No lado esquerdo da equação, a base do logaritmo é x^7 e no lado direito da equação, a base do logaritmo é x.

Então:

x^7 = x^(7*log(x))  que resulta em x = e^(1/7)

[tex]\displaystyle \sf [\log(x)]^{7} = \log(x^7 ) \\\\\ [\log(x)]^7=7\log(x) \\\\\ \boxed{\sf obs: x > 0 } \\\\\ \text{Fa\c camos }: \\\\ \log(x) =a \\\\\ Da{\'i}}: \\\\ a^7 = 7a \\\\ a^7 - 7 a = 0 \\\\ a\cdot (a^6-7) = 0 \\\\\ \text{Para fatorar vamos pensar da seguinte forma : } \\\\ a \cdot \underbrace{\sf [(a^2)^3-(\sqrt[3]{7})^3]}_{x^3-y^3}=0 \\\\\\[/tex]

[tex]\displaystyle \sf \boxed{\sf obs: \ x^3-y^3 = (x-y)\cdot (x^2+y^2+xy)}\\\\\ Da{\'i}}: \\\\ a\cdot [a^2-\sqrt[3]{7}\ ]\cdot [(a^2)^2+(\sqrt[3]{7})^2+a^2\cdot \sqrt[3]{7}] = 0 \\\\\\ a\cdot \left(a^2-\sqrt[3]{7}\right)\cdot \underbrace{\sf \left[a^4+a^2\cdot\sqrt[3]{7^2}+\sqrt[3]{7^2} \right]}_{\displaystyle > 0\ \forall \ a\in\mathbb{R}} = 0 \\\\\\[/tex]

[tex]\displaystyle \sf \text{Ent\~ao vamos analisar } : \\\\\ a\cdot \left(a^2-\sqrt[3]{7}\right) = 0 \\\\ a = 0 \to \log(x) =0 \to x=10^0\to \boxed{\sf x = 1 } \\\\\ a^2- \sqrt[3]{7} = 0 \\\\ a^2= \sqrt[3]{7} \\\\ a=\pm(\sqrt[3]{7})^{\frac{1}{2}} \\\\\ a = \pm\sqrt[6]{7} \\\\ a = \sqrt[6]{7} \to \log(x) =\sqrt[6]{7}\to \boxed{\sf x = 10^{\sqrt[6]{7}} }\\\\ a = -\sqrt[6]{7}} \to \log(x) = -\sqrt[6]{7}} \to x=10^{-\sqrt[6]{7}}} \to \boxed{\sf x= \frac{1}{10^{\sqrt[6]{7}}}} }[/tex]

Portanto os valores de x reais que satisfazem a equação são :

[tex]\boxed{\begin{matrix} \\ \ \sf {x = 1} \ \ ;\ \ \displaystyle \sf x = 10^{\sqrt[6]{7}} \ \ ;\ \ \displaystyle \sf x = \frac{1}{10^{\sqrt[6]{7}}} \ ;\ \\_ \end{matrix}}\checkmark[/tex]