[Teorema: Comparação de um Número Real às Raízes de uma Função Quadrática – Parte 1]
Seja [tex]f[/tex] a função de [tex]\mathbb{R}[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] definida por:
[tex]f(x) = ax^2 + bx + c[/tex]
onde [tex]a, b, c \in \mathbb{R}[/tex] e [tex]a \neq 0.[/tex]
Seja [tex]\beta[/tex] um número real qualquer.
Demonstre que subsiste a implicação abaixo:
[tex]a \cdot f(\beta) \ \textless \ 0 \Longrightarrow \Delta \ \textgreater \ 0 \,\,\,\land\,\,\, x_1 \ \textless \ \beta \ \textless \ x_2[/tex]
onde [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] são as raízes de [tex]f,[/tex] tais que [tex]x_1 \ \textless \ x_2.[/tex]
Obs.: Respostas copiadas do ChatGPT serão sumariamente denunciadas.
Seja [tex]f[/tex] a função de [tex]\mathbb{R}[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] definida por:
[tex]f(x) = ax^2 + bx + c[/tex]
onde [tex]a, b, c \in \mathbb{R}[/tex] e [tex]a \neq 0.[/tex]
Seja [tex]\beta[/tex] um número real qualquer.
Demonstre que subsiste a implicação abaixo:
[tex]a \cdot f(\beta) \ \textless \ 0 \Longrightarrow \Delta \ \textgreater \ 0 \,\,\,\land\,\,\, x_1 \ \textless \ \beta \ \textless \ x_2[/tex]
onde [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] são as raízes de [tex]f,[/tex] tais que [tex]x_1 \ \textless \ x_2.[/tex]
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Se a multiplicação de a por f(β) for negativa, então a função quadrática f tem duas raízes reais e distintas, x1 e x2, e β está entre elas (ou seja, x1 < β < x2).
Função Quadrática
Para demonstrar essa implicação vamos lembrar que a função f(x) = ax²+bx+c é uma função quadrática, o que significa que seu gráfico é uma parábola.
Supondo que a multiplicação de a por f(β) seja menor do que zero, ou seja, a*f(β) < 0. Isso significa que um dos fatores é negativo e o outro é positivo.
As raízes de uma função são os valores de x para os quais f(x) é igual a zero. No caso da função quadrática f(x) = ax²+bx+c, as raízes são dadas pela fórmula x = (-b ± √Δ)/(2a), onde Δ é o discriminante dado por Δ = b²-4ac.
Suponha que f(β) seja negativo. Isso significa que o valor de f(x) é negativo quando x está próximo de β. Mas a parábola só muda de sinal quando passa por uma raiz, ou seja, quando f(x) = 0. Portanto, deve haver uma raiz à direita de β (chamada de x2) e uma raiz à esquerda de β (chamada de x1).
Além disso, como Δ = b²-4ac, se a*f(β) < 0, então b²-4ac > 0, ou seja, Δ > 0. Isso significa que as raízes são reais (não imaginárias) e distintas (não iguais).
Saiba mais sobre Função Quadrática: https://brainly.com.br/tarefa/45411352
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