Explicação passo-a-passo:

Duas das três soluções, são triviais .

constata-se logo que x=1 e x=2 são soluções da equação.

A terceira è uma solução não inteira .E para achá-la vamos usar o função W de Lambert , função W de Lambert diz que:

[tex]\sf{ \omega\left(e^u*u\right)=~u} \\[/tex]

Então temos que [tex]\sf{ 2^x~=~x^2}\\[/tex]

vamos aplicar logaritmos para ambos membros:

[tex]\iff\sf{ x\ln(2)~=~2\ln(x) }\\[/tex]

[tex]\iff\sf{\dfrac{\ln(2)}{2}~=~x^{-1}\ln(x)}\\[/tex]

vejamos que [tex]\sf{ x^{-1}=e^{\ln\left(x^{-1}\right)}~=~e^{-\ln(x)}}\\[/tex] substituindo vamos ter :

[tex]\iff\sf{ \ln(x)*e^{-\ln(x)}~=~\dfrac{\ln(2)}{2}}\\[/tex]

multiplique ambos membros por (-1):

[tex]\iff\sf{\red{-\ln(x)}*e^{\red{-\ln(x)}}~=~-\dfrac{\ln(2)}{2}}\\[/tex]

Agora vamos aplicar a função W em ambos membros:

[tex]\iff\sf{ \omega\left( \red{-\ln(x)}*e^{\red{-\ln(x)}} \right)~=~\omega\left(- \dfrac{\ln(2)}{2}\right) } \\[/tex]

por definição têm-se:

[tex]\iff\sf{ -\ln(x)~=~\omega\left(-\dfrac{\ln(2)}{2}\right) } \\[/tex]

[tex]\blue{ \iff \boxed{\boxed{\sf{ x~=~e^{-\omega\left(-\frac{\ln(2)}{2}\right)} } } } } \\[/tex]

Não existe outras soluções pois 2^x>x² para qualquer x > 4 . O gráfico acima também ilustra isso .

Qualquer dúvida comente .