Um homem de 1,80m de altura avista o topo de um edifício sob um ângulo de 45° em relação à horizontal. Quando ele se aproxima 20m do edifício,esse ângulo aumenta para 60°. Qual a altura do edifício?
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H a altura do prédio
D a distância do homem ao prédio, temos :
tg 45° = H-1,80/D = 1
H-1,80 = D( relação I)
Após se aproximar 20 metros :
tg 60° = sqrt3 = H-1,80/ D-20 ( relação II)
Aplicando relação I em relação II :
H-1,80 / D-20 = sqrt3
D/D-20 = sqrt3 =>
D = sqrt3(D - 20) =>
D( 1 -sqrt3) = -20sqrt3
D = -20sqrt3/1 - sqrt3
Aplicando D em relação I :
H - 1,80 = -20sqrt3/1 - sqrt 3 ( racionalizando)
H - 1,80 = -20sqrt3 ( 1 + sqrt3)/ 1 - 3
H - 1,80 = -20sqrt3 ( 1 + sqrt3) / -2
H - 1,80 = 10sqrt3( 1 + sqrt3)
H - 1,80 = 10sqrt3 + 30
H = (10sqrt3 + 31,80)m
OBS : sqrt3 = raiz quadrada de 3
A resposta ficou meio estranha, confesso... caso o gabarito seja diferente, posta ele aí que eu revejo minhas contas rs.
Em Anexo um desenho para compreender melhor a questão
Análise: Trigonometria
Como o triângulo de ângulo agudo 45º é isósceles, temos que h = y + 20
Altura do edificio= H= h+1,80
Altura do homem=1,80
Resolução
Primeiramente , vamos descobrir o valor do "y"
Tg 60º= y+20/y
√3 = y+20/y
y*√3= y+20
√3y-y = 20
y(√3 - 1) = 20
y= 20/√3 -1 Racionalização
y= 20/ √3 - 1* √3 +1/√3 +1= 20 (√3 + 1)/2
y= 10( √3 + 1)
y=10√3 +10
Logo:
h= y+20
h= (10√3 +10) +20
h= 30+10√3
Então,
Altura(edifício) = H= h+1,80
Altura(edifício)H= 30+10√3 + 1,80
Altura(edifício)H= 31,8 +10√3
Resposta: A altura do edifício é 31,8+10√3
Bons estudos.