Uma mercadoria que teve os aumentos sucessivos de 10%, 20% e 30% deverá ter um único desconto de x% para voltar ao preço original. Encontre o valor de x.
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✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a taxa de desconto necessária para que o valor do produto volte ao mesmo valor antes dos aumentos é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t_{\%D} \cong 41,73\,\%\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam as taxas de aumentos sucessivos:
[tex]\Large\begin{cases} t' = 10\,\% = 0,1\\t'' = 20\,\% = 0,2\\t''' = 30\,\% = 0,3\end{cases}[/tex]
Sabemos que um novo valor "Nv" de um produto após aplicarmos uma taxa de aumento "Ta" acima de um valor "V" é dado por:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} N_{V} = V + Vt_{A}\end{gathered}$}[/tex]
Esta equação pode ser reescrita como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} N_{V} = V(1 + t_{A})\end{gathered}$}[/tex]
Sabemos também que o valor "V" de um produto após aplicarmos uma taxa de desconto acima do novo valor "Nv" é dado por:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} V = N_{V} - N_{V}t_{D}\end{gathered}$}[/tex]
Isolando a taxa de desconto "Td" no primeiro membro desta equação, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} V = N_{V} - N_{V}t_{D}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} V = N_{V}(1 - t_{D})\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{V}{N_{V}} = 1 - t_{D}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{V}{N_{V}} - 1 = -t_{D}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1 - \frac{V}{N_{V}} = t_{D}\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a taxa de desconto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{D} = 1 - \frac{V}{N_{V}}\end{gathered}$}[/tex]
Desta forma, a taxa percentual de desconto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{\%D} = \bigg(1 - \frac{V}{N_{V}}\bigg)\cdot100\end{gathered}$}[/tex]
Observe que o valor "V" da equação "I" pode ser substituído por:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} V = \frac{N_{V}}{1 + t_{A}}\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo "II" em "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{\%D} = \left(1 - \frac{\dfrac{N_{V}}{1 + t_{A}}}{N_{V}}\right)\cdot100\end{gathered}$}[/tex]
Simplificando a equação "III", chegamos à:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{\%D} = \bigg(1 - \frac{1}{1 + t_{A}}\bigg)\cdot100\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que temos três aumentos sucessivos, então temos uma taxa de aumento equivalente "Te" aos três aumentos sucessivos, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf V\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{E} = (1 + t')\cdot(1 + t'')\cdot(1 + t''') - 1\end{gathered}$}[/tex]
Além disso, devemos saber que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{A} = t_{E}\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo "V" em "IV" temos:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{\%D} = \bigg(1 - \frac{1}{1 + \left[(1 + t')\cdot(1 + t'')\cdot(1 + t''') - 1\right]}\bigg)\cdot100\end{gathered}$}[/tex]
Inserindo as taxas dadas nesta última equação, temos:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{\%D} = \bigg(1 - \frac{1}{1 + \left[(1 + 0,1)\cdot(1 + 0,2)\cdot(1 + 0,3) - 1\right]}\bigg)\cdot100\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \bigg(1 - \frac{1}{1 + \left[1,716 - 1\right]}\bigg)\cdot100\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \bigg(1 - \frac{1}{1,716}\bigg)\cdot100\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \cong (1 - 0,5827)\cdot100\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \cong 0,4173\cdot100\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \cong 41,73\,\%\end{gathered}$}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t_{\%D} \cong 41,73\,\%\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
Explicação passo a passo:
Seja [tex]\mathtt{k}[/tex] o valor da mercadoria. Após os três aumentos sucessivos...
[tex]\\ \mathsf{\left (1 + \dfrac{10}{100} \right ) \cdot \left (1 + \dfrac{20}{100} \right ) \cdot \left (1 + \dfrac{30}{100} \right ) =} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{110}{100} \cdot \dfrac{120}{100} \cdot \dfrac{130}{100} =} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{1716}{1000} =} \\\\\\ \boxed{\mathsf{1,716}}[/tex]
Passará a custar [tex]\mathtt{1,716k}[/tex]. Posto isto, para que o desconto único corresponda ao valor inicial, temos:
[tex]\\ \mathsf{1,716k \cdot \left ( 1 - \dfrac{x}{100} \right ) = k} \\\\\\ \mathsf{1 - \dfrac{x}{100} = \dfrac{1}{1,716}} \\\\\\ \mathsf{1 - 0,58275 = \dfrac{x}{100}} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{x}{100} = 0,41725} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x \approx 41,72}}}[/tex]