Para integrar a função ∫x/√16-x⁴ dx por substituição, podemos fazer a substituição u = 16-x². Vamos calcular a derivada de u em relação a x para determinar dx:
du/dx = -2x
Agora, vamos isolar dx:
dx = -du/(2x)
Substituindo dx na integral, obtemos:
∫(x/√16-x⁴) dx = ∫(x/√u) * (-du/(2x))
As x's se cancelam e podemos simplificar a expressão:
∫(1/√u) * (-du/2)
Podemos agora integrar:
= (-1/2) ∫(1/√u) du
A integral de 1/√u é 2√u:
= (-1/2) * 2√u + C
= -√u + C
Finalmente, substituímos de volta u = 16-x²:
= -√(16-x²) + C
Portanto, a integral de x/√16-x⁴ dx é -√(16-x²) + C.
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Resposta:
Explicação passo a passo:
Para resolver essa integral por substituição, vamos fazer a seguinte substituição:
u = 16 - x^4
Primeiro, vamos calcular du em relação a dx. Derivando ambos os lados da equação em relação a x, temos:
du/dx = d(16 - x^4)/dx
du/dx = -4x^3
Podemos isolar dx dividindo ambos os lados por -4x^3:
dx = du/(-4x^3)
Substituindo a expressão para dx na integral original, obtemos:
∫(x/√(16-x^4)) dx = ∫(x/√u)(du/(-4x^3))
Simplificando, temos:
∫(1/(-4x^2)) du
Agora, vamos resolver essa nova integral:
∫(1/(-4x^2)) du = (-1/4) ∫(1/x^2) du
Integrando (1/x^2) du em relação a u, obtemos:
(-1/4) ∫(1/x^2) du = (-1/4) (-1/x) + C
= 1/(4x) + C
Portanto, a integral original ∫(x/√(16-x^4)) dx é igual a 1/(4x) + C, onde C é a constante de integração.
Resposta:
Para integrar a função ∫x/√16-x⁴ dx por substituição, podemos fazer a substituição u = 16-x². Vamos calcular a derivada de u em relação a x para determinar dx:
du/dx = -2x
Agora, vamos isolar dx:
dx = -du/(2x)
Substituindo dx na integral, obtemos:
∫(x/√16-x⁴) dx = ∫(x/√u) * (-du/(2x))
As x's se cancelam e podemos simplificar a expressão:
∫(1/√u) * (-du/2)
Podemos agora integrar:
= (-1/2) ∫(1/√u) du
A integral de 1/√u é 2√u:
= (-1/2) * 2√u + C
= -√u + C
Finalmente, substituímos de volta u = 16-x²:
= -√(16-x²) + C
Portanto, a integral de x/√16-x⁴ dx é -√(16-x²) + C.