Resposta:

[tex]\int\limits^1_0 {2\sqrt x}+\int\limits^1_2\frac{4}{x}-2 \, dx=4\ln2-\frac{2}{3}[/tex]

Explicação passo a passo:

Ao avaliarmos a área entre as funções, notamos que podemos dividí-las em duas integrais, cuja soma entre elas é igual ao da área que foi requerida pela questão.

Para que possamos dividir as áreas, devemos achar o valor da intersecção entre as funções. Para isto, devemos igualar os valores de y de cada função:

[tex]y=y\\2\sqrt x=\frac{4}{x}-2[/tex]

[tex]2\sqrt x \cdot x=4-2x[/tex]

[tex]4x^3=4(2-x)^2[/tex]

[tex]x^3=(2-x)^2[/tex]

Logo notamos que a solução para a equação é x=1. Pelo briot-ruffini, o restante das raízes são dados em pares conjugados de números complexos, o que não vamos utilizar.

Para determinar-mos o valor do outro limite da integral, devemos achar o valor da abcissa da função que intercepta o eixo das abcissas:

[tex]y=\frac{4}{x}-2[/tex]

 Igualando a zero:

[tex]0=\frac{4}{x}-2\\2=\frac{4}{x}\\x=2[/tex]

Logo, temos os valores para cada limite, assumindo que a questão pede que a área começe da origem (0, 0).

As duas áreas são a integral de 0 a 1 de 2√x, e a integral de 4/x-2 de 1 a 2:

[tex]\int\limits^1_0{2\sqrt x}dx+\int\limits^2_1{\frac{4}{x}-2}dx[/tex]

Apenas recordando as integrais mais comuns:[tex]\int{x^\frac{a}{b}dx=\frac{b}{a+b}x^\frac{a+b}{b}+C[/tex] e [tex]\int{\frac{1}{x}dx=\ln x+C[/tex]:
 Resolvendo a integral da raíz quadrada, e separando as integrais, temos:

[tex]2\cdot\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+\int\limits^2_1{\frac{4}{x}}dx-\int\limits^2_1{2}dx[/tex]

 Aplicando os limítes da primeira integral, e resolvendo a segunda:

[tex]2\cdot\frac{2}{3}1^\frac{3}{2}-2\cdot\frac{2}{3}0^\frac{3}{2}+4(\ln2-\ln1)-(4-2)[/tex]

[tex]\frac{4}{3}}-\frac{4}{3}0+4(\ln2-\ln e^0)-(4-2)[/tex]

[tex]\frac{4}{3}}+4(\ln2-0\ln e)-2[/tex]

[tex]\frac{4}{3}}+4\ln2-2[/tex]

[tex]\frac{4}{3}}-\frac{6}{3}+4\ln2[/tex]

[tex]-\frac{2}{3}}+4\ln2[/tex]

Logo, temos que o valor da área de R é igual a -2/3+4ln2.