A derivada de uma função descreve a taxa de variação da função em relação a uma de suas variáveis. No caso de uma partícula que se desloca sobre o eixo x com função de posição x = cos(3t), podemos calcular a velocidade da partícula, que é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, tomando a derivada da função de posição em relação ao tempo.
A derivada da função x = cos(3t) em relação ao tempo é dada por:
dx/dt = -3 * sen(3t)
Essa é a função velocidade da partícula. Ela nos diz como a velocidade da partícula varia ao longo do tempo. Podemos avaliar essa função em diferentes valores de t para encontrar a velocidade da partícula em diferentes momentos.
a. Sim, pois a função aceleração pode ser expressa pela função da posição, como em [tex]\alpha(t)=-9x(t)[/tex].
b. O valor da aceleração em x(t)=1/2 é α(t)=-4,5
Explicação passo a passo:
Para determinarmos a função de aceleração da partícula, devemos extraír a velocidade e, assim, a aceleração instantânea do móvel em questão. Para isto, devemos extrair a derivada destas funções:
A variação da velocidade instantânea dada em um determinado ponto é dado por:
Portanto, a aceleração de um móvel é dado pela segunda derivada da função de posição.
Na questão, a função de posição é dada por x(t)=cos(3t). Extraindo a 2ªderivada, lembra-se que a derivada da função cosseno é dada por:[tex]\frac{d}{dx}[cos(ax/b)]=-asen(ax/b)/b[/tex], sendo que a e b são fatores de x, ambos constantes.
Podemos responder a primeira questão, já que a função de posição é dada por cos(3t), e a da aceleração como -9cos(3t), podemos dizer que a aceleração pode ser expressa nos termos de x(t), ou seja, proporcional a x(t):
[tex]\alpha(t)=-9x(t)[/tex]
A segunda pode ser respondida substituindo x por 1/2 na função acima:
Lista de comentários
A derivada de uma função descreve a taxa de variação da função em relação a uma de suas variáveis. No caso de uma partícula que se desloca sobre o eixo x com função de posição x = cos(3t), podemos calcular a velocidade da partícula, que é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, tomando a derivada da função de posição em relação ao tempo.
A derivada da função x = cos(3t) em relação ao tempo é dada por:
dx/dt = -3 * sen(3t)
Essa é a função velocidade da partícula. Ela nos diz como a velocidade da partícula varia ao longo do tempo. Podemos avaliar essa função em diferentes valores de t para encontrar a velocidade da partícula em diferentes momentos.
Resposta:
a. Sim, pois a função aceleração pode ser expressa pela função da posição, como em [tex]\alpha(t)=-9x(t)[/tex].
b. O valor da aceleração em x(t)=1/2 é α(t)=-4,5
Explicação passo a passo:
Para determinarmos a função de aceleração da partícula, devemos extraír a velocidade e, assim, a aceleração instantânea do móvel em questão. Para isto, devemos extrair a derivada destas funções:
A variação da velocidade instantânea dada em um determinado ponto é dado por:
[tex]\frac{ds}{dt}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}[/tex]
Para determinarmos os valores da função da aceleração instantânea do móvel em função de t, segue-se o mesmo raciocínio, tal que:
[tex]\alpha(t)=\frac{dv}{dt}=\lim_{\Delta t\rightarrow \infty}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}[/tex]
Portanto, a aceleração de um móvel é dado pela segunda derivada da função de posição.
Na questão, a função de posição é dada por x(t)=cos(3t). Extraindo a 2ªderivada, lembra-se que a derivada da função cosseno é dada por:[tex]\frac{d}{dx}[cos(ax/b)]=-asen(ax/b)/b[/tex], sendo que a e b são fatores de x, ambos constantes.
[tex]v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d}{dt}[\cos(3t)]=-3\sin(3t)[/tex]
Lembrando que a derivada da função seno é [tex]\frac{d}{dt}[\sin(x)]=\cos(x)[/tex], podemos determinar a segunda derivada, tal que:
[tex]\alpha(t)=\frac{d}{dt}[-3\sin(t)]=-9\cos(3t)[/tex]
Podemos responder a primeira questão, já que a função de posição é dada por cos(3t), e a da aceleração como -9cos(3t), podemos dizer que a aceleração pode ser expressa nos termos de x(t), ou seja, proporcional a x(t):
[tex]\alpha(t)=-9x(t)[/tex]
A segunda pode ser respondida substituindo x por 1/2 na função acima:
[tex]a(t)=-9\cdot \frac{1}{2}[/tex]
[tex]a(t)=-4.5\text{ u.d./(u.t. x u.t.)}[/tex]