Para calcular os valores solicitados para a função F(x) = ∫[0,x] (2+1/x)sen(t) dt, podemos seguir os passos a seguir:
(a) F(0):
Para calcular F(0), substituímos x por 0 na função F(x) e obtemos:
F(0) = ∫[0,0] (2+1/x)sen(t) dt
Assim como na pergunta anterior, a integral definida com limites de integração iguais não possui área entre os limites, resultando em zero. Portanto, F(0) = 0.
(b) F'(0):
Para calcular a derivada de F(x) em relação a x, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Neste caso, a função f(t) = (2+1/x)sen(t).
F'(x) = d/dx ∫[0,x] (2+1/x)sen(t) dt
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
F'(x) = f(x) = (2+1/x)sen(x)
Portanto, F'(0) = (2+1/0)sen(0) = 2.
(c) F''(0):
Para calcular a segunda derivada de F(x) em relação a x, derivamos novamente a função f(x) = (2+1/x)sen(x).
Lista de comentários
Resposta:
Explicação passo a passo:
Para calcular os valores solicitados para a função F(x) = ∫[0,x] (2+1/x)sen(t) dt, podemos seguir os passos a seguir:
(a) F(0):
Para calcular F(0), substituímos x por 0 na função F(x) e obtemos:
F(0) = ∫[0,0] (2+1/x)sen(t) dt
Assim como na pergunta anterior, a integral definida com limites de integração iguais não possui área entre os limites, resultando em zero. Portanto, F(0) = 0.
(b) F'(0):
Para calcular a derivada de F(x) em relação a x, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Neste caso, a função f(t) = (2+1/x)sen(t).
F'(x) = d/dx ∫[0,x] (2+1/x)sen(t) dt
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
F'(x) = f(x) = (2+1/x)sen(x)
Portanto, F'(0) = (2+1/0)sen(0) = 2.
(c) F''(0):
Para calcular a segunda derivada de F(x) em relação a x, derivamos novamente a função f(x) = (2+1/x)sen(x).
F''(x) = d²/dx² ∫[0,x] (2+1/x)sen(t) dt
Derivando a função f(x) = (2+1/x)sen(x), temos:
f'(x) = (1/x²-1/x²)sen(x) + (2+1/x)cos(x)
Portanto, F''(0) = f'(0) = (1/0²-1/0²)sen(0) + (2+1/0)cos(0) = 2.
Em resumo:
(a) F(0) = 0
(b) F'(0) = 2
(c) F''(0) = 2