Resposta:

[tex]f(x)=(x^2/2)+(xe^{2x}/2)-(e^{2x}/4)+3/4[/tex]

Explicação passo a passo:

Para que possamos determinar a função f(x) através de uma derivada, precisamos extrair a integral desta derivada. Assim, temos que:

[tex]\int{x+xe^{2x}}dx=f(x)[/tex]

 Separando as integrais pela soma:

[tex]\int{x}dx+\int{xe^{2x}}dx=f(x)[/tex]

 Pelas integrais parciais, na segunda integral, temos (adotando u'=e^2x e v=x):

[tex]\int{x}dx+x\int{e^{2x}}dx-\int{(\frac{d}{dx}[x]\int{e^{2x}})}dx=f(x)[/tex]

 Para resolver a integral de e^2x, podemos realizar pela substituição em u de 2x:

[tex]\int{e^{2x}}dx\text{ | }u=2x\Leftrightarrow du=2dx \Leftrightarrow dx=du/2[/tex]

[tex]\int{e^{u}}du/2\\1/2\int{e^{u}}du\\1/2e^u\\1/2e^{2x}[/tex]

 Sabendo também que a derivada de x é 1, substituiremos na função:

[tex]\int{x}dx+xe^{2x}/2-\int{e^{2x}/2}dx=f(x)[/tex]

 Resolvendo as integrais, seguindo a mesma ideia da resolução anterior para a última:

[tex]x^2/2+xe^{2x}/2-e^{2x}/4+C=f(x)[/tex]

Para determinarmos o valor da constante da Integral, podemos estar substituindo o valor de x=1/2 na função, isto pois sabendo qual resultado a função estará dando ( que é 7/8):

[tex](1/4)/2+(1/2e^1)/2-1/4e^1+C=f(1/2)=7/8[/tex]

[tex]1/8+e/4-e/4+C=7/8[/tex]

[tex]1/8+C=7/8\\C=7/8-1/8\\C=6/8\\C=3/4[/tex]

Assim, temos a função inteira:[tex]f(x)=x^2/2+(xe^{2x}/2)-1/4e^{2x}+3/4[/tex]