Resposta:

Explicação passo a passo:

Para resolver a integral ∫1/(25+9t²) dt, podemos utilizar uma substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição:

1. Substituição trigonométrica:

Vamos fazer a substituição t = (5/3)tan(θ), ou seja, dt = (5/3)sec²(θ) dθ.

2. Aplicação da substituição:

Substituindo na integral, temos:

∫1/(25+9t²) dt = ∫1/[25+9((5/3)tan(θ))²] * (5/3)sec²(θ) dθ

Simplificando, temos:

(5/3)∫sec²(θ) dθ / [25 + 9(25/9)tan²(θ)]

(5/3)∫sec²(θ) dθ / (25 + 25tan²(θ))

3. Identidade trigonométrica:

Utilizando a identidade trigonométrica sec²(θ) = 1 + tan²(θ), podemos simplificar a expressão:

(5/3)∫sec²(θ) dθ / (25 + 25tan²(θ))

(5/3)∫sec²(θ) dθ / 25(1 + tan²(θ))

(5/75)∫sec²(θ) dθ / (1 + tan²(θ))

4. Integral:

A integral de sec²(θ) é igual a tan(θ) + C, onde C é uma constante de integração. Aplicando a integral, temos:

(5/75) * (tan(θ) + C) / (1 + tan²(θ))

(1/15) * (tan(θ) + C) / (1 + tan²(θ))

5. Substituição inversa:

Voltando à variável original, substituímos θ por arctan(3/5t):

(1/15) * (tan(arctan(3/5t)) + C) / (1 + tan²(arctan(3/5t)))

(1/15) * (3/5t + C) / (1 + (3/5t)²)

(1/15) * (3/5t + C) / (1 + 9/25t²)

Simplificando, temos:

(1/15) * (3t + 5C) / (5t² + 9)

Portanto, a integral ∫1/(25+9t²) dt é igual a (1/15) * (3t + 5C) / (5t² + 9) + K, onde C e K são constantes de integração.

[tex]\displaystyle \sf \int \frac{1}{25+9t^2}dt \\\\\\ \text{Fa\c camos} : \\\\ \frac{3t}{5} = u \to t = \frac{5u}{3} \to dt = \frac{5du}{3} \\\\\ Da{\'i}}: \\\\\ \int \frac{1}{\displaystyle \left[25+9\left(\frac{5u}{3}\right)^2\right]}\left(\frac{5du}{3}\right) \\\\\\ \frac{5}{3}\int \frac{1}{\displaystyle25+9.\frac{25u^2}{9}}du[/tex]

[tex]\displaystyle \sf \frac{5}{3}\int \frac{1}{25+25u^2}du \\\\\\ \frac{5}{3.25}\int \frac{1}{1+u^2}du \\\\\\ \frac{1}{15}\ Arc\ tg(u)\ +C \\\\\\ \large\boxed{\sf \ \frac{1}{15}\ Arc\ tg\left(\frac{3t}{5}\right)+C \ }\checkmark[/tex]