Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábolas e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola Y = 9 - x² , sendo X e Y medidos em metros. Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel. Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
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A função é:
y = 9 - x²
y = -x² + 9
Agora, vamos encontrar suas raízes, igualando y a zero.
-x² + 9 = 0
-x² = -9
x² = 9
x = 3 ou x = -3
Perceba que a base será dada pelo módulo da diferença entre as raízes.
base = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6
base = 6 metros
Como a parábola é simétrica em relação ao eixo y, sua altura máxima será dada quando substituímos x por zero.
altura = -0² + 9
altura = 9 m
O retângulo tem área dada por:
base*altura = 6*9 = 54 m²
Porém, precisamos calcular 2/3 dessa área:
Área pedida = (2/3)*54 = 2*18 = 36 m²
Área pedida = 36 m²
Resultado Área pedida : 36 m²
Primeiramente podemos observar que a função fornecida pelo esquema acima é:
y = 9 - x²
Logo, y = -x² + 9
Identificando suas raízes, temos que:
-x² + 9 = 0
-x² = -9
x² = 9
Portanto, estas são as seguintes:
x = 3 ou x = -3
Calculando a base então temos que:
base = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6 m
A altura máxima será:
altura = -0² + 9
altura = 9 m
Por fim, compreendendo que a área de um retângulo é calculado por intermédio da multiplicação de sua base pela altura, temos que:
base x altura = 6*9 = 54 m²
Considerando dois terços da área:
Área pedida : 36 m²