4) Resolva a integral e diga o método que está usando:.... Pergunta de ideia deLucasJairo

December 2019 1 185 Report

4) Resolva a integral e diga o método que está usando:

$\int\limits {tan^5~x} \, dx$

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Lukyo

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Calcular a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int\!tan^5\,x\,dx}$

Vamos manipular o integrando de forma a simplificar as potências de tangente. Usaremos a identidade trigonométrica quando necessário:

• tan² x = sec² x − 1

$\mathsf{\displaystyle\int\!tan^5\,x\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\!tan^3\,x\cdot tan^2\,x\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\!tan^3\,x\cdot (sec^2\,x-1)\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\!(tan^3\,x\cdot sec^2\,x-tan^3\,x)\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\! tan^3\,x\cdot sec^2\,x\,dx-\int\!tan^3\,x\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\! tan^3\,x\cdot sec^2\,x\,dx-\int\!tan\,x\cdot tan^2\,x\,dx}$

$=\mathsf{\displaystyle\int\! tan^3\,x\cdot sec^2\,x\,dx-\int\!tan\,x\cdot (sec^2\,x-1)\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\! tan^3\,x\cdot sec^2\,x\,dx-\int\!(tan\,x\cdot sec^2\,x-tan\,x)\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\! tan^3\,x\cdot sec^2\,x\,dx-\int\!tan\,x\cdot sec^2\,x\,dx+\int\!tan\,x\,dx\qquad\quad (i)}$

Para as duas primeiras integrais acima, faça a seguinte substituição:

$\mathsf{tan\,x=u\quad\Rightarrow \quad sec^2\,x\,dx=du}$

Para a terceira integral, escreva tangente como o quociente de seno por cosseno. A integral (i) fica

$=\mathsf{\displaystyle\int\! u^3\,du-\int\!u\,du+\int\!\frac{sen\,x}{cos\,x}\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\! u^3\,du-\int\!u\,du-\int\!\frac{1}{cos\,x}\cdot (-\,sen\,x)\,dx}$

Na terceira integral, faça a substituição

$\mathsf{cos\,x=v\quad \Rightarrow\quad -\,sen\,x\,dx=dv}$

e fica

$=\mathsf{\displaystyle\int\! u^3\,du-\int\!u\,du-\int\!\frac{1}{v}\,dv}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{u^{3+1}}{3+1}-\dfrac{u^{1+1}}{1+1}-\ell n|v|+C}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{u^4}{4}-\dfrac{u^2}{2}-\ell n|v|+C}$

$=\mathsf{\dfrac{tan^4\,x}{4}-\dfrac{tan^2\,x}{2}-\ell n|cos\,x|+C}$ <———— esta é a resposta.

Bons estudos! :-)

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