Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e I e J são pontos médios de DC e AD,
respectivamente. Nessas condições, sen α é igual a:
Resposta: 3/5
Gostaria de entender a resolução.
Imagem da figura em anexo
respectivamente. Nessas condições, sen α é igual a:
Resposta: 3/5
Gostaria de entender a resolução.
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DJ = a/2 DI = a/2 IC = a/2 onde a seria a medida do lado do quadrado
BC = a JA = a/2 AB = a
Traçando o segmento JI, podemos notar que o triângulo resultante BJI é um triângulo isósceles, pois tem dois lados com a mesma medida BJ = BI, lados que são respectivamente as hipotenusas dos triângulos ABJ (BJ) e BIC (BI).
Usando o teorema de Pitágoras em BCI temos
BC² + IC² = BI²
a² + (a/2)² = BI²
a² + a²/4 = BI² (calculando o mmc)
4a²/4 + a²/4 = BI²
5a²/4 = BI²
BI = √5a²/4
BI = a√5/2 portanto BJ = a√5/2
Usando novamente o teorema de Pitágoras
DI² + DJ² = JI²
(a/2)² + (a/2)² = JI²
2(a/2)² = JI²
JI = √2(a/2)²
JI =a√2/2
Agora trace uma bissetriz dividindo o ângulo alfa pela metade e interceptando o lado JI no ponto médio desse lado que denotaremos como ponto H, isto é o lado JI ficará dividido pela metade.
Logo JH = HI = (a√2/2)/2 = a√2/4
Em seguida calculemos o seno do ângulo da metade de alfa, lembre-se que o triângulo BJI ficou dividido ao meio quando traçamos a bissetriz é o angulo alfa se repartiu pela metade
Dai, temos que
sen alfa/2 = JH/BJ
sen alfa/2 = a√2/4 dividido por a√5/2
sen alfa/2 = 2a√2/4a√5 (multiplique extremos e meios)
sen alfa/2 = √2/4√5 (fazendo a racionalização)
sen alfa/2 = √2√5/4√5√5
sen alfa/2 = √10/2.5
sen alfa/2 = √10/10
Usando a primeira relação fundamental da trigonométria
sen² alfa/2 + cos² alfa/2 = 1
cos² alfa/2 = 1 - sen² alfa/2
cos² alfa/2 = 1 - (√10/10)²
cos² alfa/2 = 1 - 10/100
cos² alfa/2 = 100/100 - 10/100
cos² alfa/2 = 90/100
cos alfa/2 = √(90/100)
cos alfa/2 = 3√10/10 (como o ângulo é menor que 90º o cos é positivo
Portanto:
sen alfa = sen 2.alfa/2 = 2sen alfa . cos alfa
sen alfa = 2 . √10/10 . 3√10/10
sen alfa = 6.10/100
sen alfa = 60/100
sen alfa = 6/10
sen alfa = 3/5
Espero ter ajudado!!!