5) Resolva a integral e diga o método que está usando:.... Pergunta de ideia deLucasJairo

December 2019 1 176 Report

5) Resolva a integral e diga o método que está usando:

$\int\limits { \sqrt{1-4x^2} } \, dx$

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Calcular a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int\!\sqrt{1-4x^2}\,dx}$

Faça a seguinte substituição trigonométrica (ver figura em anexo):

$\mathsf{2x=sen\,\theta\qquad \quad com~~-\dfrac{\pi}{2}\le \theta\le \dfrac{\pi}{2}}\\\\\\ \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \mathsf{2\,dx=cos\,\theta\,d\theta\quad \Rightarrow \quad dx=\dfrac{1}{2}\,cos\,\theta\,d\theta}\\\\ \mathsf{\theta=arcsen(2x)} \end{array} \right.$

e temos também que

$\mathsf{\sqrt{1-4x^2}}\\\\ =\mathsf{\sqrt{1-(2x)^2}}\\\\ =\mathsf{\sqrt{1-sen^2\,\theta}}\\\\ =\mathsf{\sqrt{cos^2\,\theta}}\\\\ =\mathsf{|cos\,\theta|}\\\\ =\mathsf{cos\,\theta\qquad \quad pois~-\dfrac{\pi}{2}\le \theta\le \dfrac{\pi}{2}\,.}$

Nesse intervalo para θ, o cosseno nunca é negativo.

Substituindo, a integral fica

$=\mathsf{\displaystyle\int\!cos\,\theta\cdot \frac{1}{2}\,cos\,\theta\,d\theta}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{2}\int\!cos^2\,\theta\,d\theta}$

Aplique a identidade do cosseno do arco duplo

cos² θ = (1/2) · (1 + cos 2θ)

e a integral fica

$=\mathsf{\displaystyle\frac{1}{2}\int\!\frac{1}{2}\cdot (1+cos\,2\theta)\,d\theta}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{4}\int\!(1+cos\,2\theta)\,d\theta}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{4}\int\!(1+cos\,2\theta)\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\,d\theta}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{8}\int\!(1+cos\,2\theta)\cdot 2\,d\theta}$

Faça uma substituição comum (mudança de variável):

$\mathsf{2\theta=u\quad \Rightarrow \quad 2\,d\theta=du}$

e a integral fica

$=\mathsf{\displaystyle\frac{1}{8}\int\!(1+cos\,u)\,du}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{8}\int\!1\,du+\frac{1}{8}\int\!cos\,u\,du}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{8}\,u+\frac{1}{8}\,sen\,u+C}$

Substituindo de volta de u para θ,

$=\mathsf{\displaystyle\frac{1}{8}\cdot (2\theta)+\frac{1}{8}\,sen\,2\theta+C}$

Aplique a identidade do seno do arco duplo:

sen 2θ = 2 sen θ cos θ

e a integral fica

$=\mathsf{\displaystyle\frac{1}{8}\cdot (2\theta)+\frac{1}{8}\cdot (2\,sen\,\theta\,cos\,\theta)+C}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{4}\,\theta+\frac{1}{4}\,sen\,\theta\,cos\,\theta+C}$

Substituindo de volta de θ para x, obtemos

$=\mathsf{\displaystyle\frac{1}{4}\,arcsen(2x)+\frac{1}{4}\cdot (2x)\sqrt{1-4x^2}+C}$

$=\mathsf{\displaystyle\frac{1}{4}\, arcsen(2x)+\frac{1}{2}\, x\sqrt{1-4x^2}+C}$ <———— esta é a resposta.

Bons estudos! :-)

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