6) Calcule a seguinte integral definida:.... Pergunta de ideia deLucasJairo

December 2019 1 126 Report

6) Calcule a seguinte integral definida:

$\int\limits^1_0 { \sqrt{1-x^2} } \, dx$

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Lukyo

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Calcular a integral definida:

$\mathsf{\displaystyle\int_0^1\!\sqrt{1-x^2}\,dx}$

Usamos substituição trigonométrica:

$\mathsf{x=sen\,\theta}\quad \Rightarrow \quad\left\{ \begin{array}{l} \mathsf{dx=cos\,\theta\,d\theta}\\\\ \mathsf{\theta=arcsen(x)} \end{array} \right.$

com − π/2 ≤ θ ≤ π/2.

Além disso, temos que

$\mathsf{\sqrt{1-x^2}}\\\\ =\mathsf{\sqrt{1-sen^2\,\theta}}\\\\ =\mathsf{\sqrt{cos^2\,\theta}}\\\\ =\mathsf{|cos\,\theta|}\\\\ =\mathsf{cos\,\theta}$

Nesse caso o módulo é o próprio cosseno, pois cos θ nunca é negativo para − π/2 ≤ θ ≤ π/2.

Novos limites de integração em θ:

Quando x = 0, θ = arcsen(0) = 0

Quando x = 1, θ = arcsen(1) = π/2

Então, a integral fica

$=\mathsf{\displaystyle\int_0^{\pi/2}cos\,\theta\cdot cos\,\theta\,d\theta}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^{\pi/2}cos^2\,\theta\,d\theta}$

Use uma das identidades trigonométricas para o cosseno do arco duplo:

• cos² θ = (1/2) · (1 + cos 2θ)

e a integral definida fica

$=\mathsf{\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}\cdot (1+cos\,2\theta)\,d\theta}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}1\,d\theta+\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\!cos\,2\theta\,d\theta}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}1\,d\theta+\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\!cos\,2\theta\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\,d\theta}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}1\,d\theta+\frac{1}{4}\int_0^{\pi/2}\!cos\,2\theta\cdot 2\,d\theta\qquad\quad(i)}$

Para a 2ª integral acima, faça outra substituição:

2θ = u ⇒ 2 dθ = du

Novos limites de integração em u:

Quando θ = 0, u = 2 · 0 = 0

Quando θ = π/2, u = 2 · π/2 = π

e a integral (i) fica

$=\mathsf{\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}1\,d\theta+\frac{1}{4}\int_0^\pi\!cos\,u\,du}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot \theta\big|_0^{\pi/2}+\dfrac{1}{4}\cdot sen\,u\big|_0^\pi}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{\pi}{2}-0\right)+\dfrac{1}{4}\cdot (sen\,\pi-sen\,0)}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi}{2}+0}$

$=\mathsf{\dfrac{\pi}{4}}$ <———— esta é a resposta.

Bons estudos! :-)

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