ABC é um triângulo isósceles, com Â = 40º e AB = AC. Marca-se D sobre AC e E sobre AB de forma que D.... Pergunta de ideia deStorClaudio

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Olá, StorClaudio.

No desenho em anexo, estão demonstradas as construções geométricas constantes do enunciado do exercício.

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180\º \Rightarrow 40\º+\hat{B}+\hat{C}=180\º \Rightarrow \hat{B}+\hat{C}=140\º\ (i)$

Como $\triangle ABC$ é isósceles $\Rightarrow \hat{B}=\hat{C}$

Substituindo em (i), temos:

$\hat{B}+\hat{B}=\hat{C}+\hat{C}=140\º \Rightarrow 2\hat{B}=2\hat{C}=140\º \Rightarrow \hat{B}=\hat{C}=70\º \Rightarrow$

$\begin{cases} \hat{EBD}+\hat{CBD}=70\º \Rightarrow \hat{EBD}+35\º=70\º \Rightarrow \hat{EBD}=35\º \\ \hat{BCE}+\hat{BCD}=70\º \Rightarrow \hat{BCE}+15\º=70\º \Rightarrow \hat{BCE}=55\º \end{cases}$

No $\triangle BFC$ temos:

$\hat{BFC}+\hat{FCB}+\hat{CBF}=180\º \Rightarrow \hat{BFC}+55\º+35\º=180\º \Rightarrow \\ \hat{BFC}=90\º \Rightarrow \hat{EFB}=\hat{EFD}=\hat{CFD}=90\º \text{ (complementares e} \\ \text{opostos pelo v\'ertice)}$

No $\triangle BFE$ temos:

$\hat{EBF}+\hat{BFE}+\hat{FEB}=180\º \Rightarrow 35\º+90\º+\hat{FEB}=180\º \\ \Rightarrow \hat{FEB}=55\º$

Os triângulos $\triangle BDE \text{ e } \triangle BDC$ possuem um lado igual em comum $(\overline{BFD})$ e dois ângulos iguais $(\hat{EBD}=\hat{CBD}=35\º \text{ e } \hat{BEF}=\hat{BCF}=55\º).$

Pelo critério LAA (lado, ângulo, ângulo), são, portanto, congruentes $\Rightarrow \overline{EF}=\overline{FC}$

Isto implica que os triângulos $\triangle DFE \text{ e } \triangle DFC$ também são congruentes, pelo critério LAL (lado, ângulo, lado), pois possuem dois lados iguais $(\overline{EF}=\overline{FC} \text{ e }$