Alguém poderia me explicar? "Radical Duplo".... Pergunta de ideia dePOKE1910

Mkse

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Alguém poderia me explicar? "Radical Duplo"
______
√5 - √21

A = 5
B = 21

FÓRMULA
_____ A - C A + C
√A - √B = √---------- = √---------
2 2
_____
C = √A² - B

C = √5² - 21
C = √ 25 - 21
C = √4
C = 2

assim voltando na FÓRMULA

_____ A + C A - C
√A - √B = √---------- -√---------
2 2

  5 +2 5 - 2
√5 - √21 = √------------- - √----------
2 2

7 3
√5 - √ 21 = √---------- - √--------
2 2

7 3
√----- - √----------
2 2

√7 √3
---- - --------- SOMA com fração faz mmc (√2)
√2   √2

√7 - √3
-------------
√2 ( elimina a RAIZ do denominador)

(√7- √3)√2
------------------
  √2√2

√7√2 - √3√2
-----------------
  √2√2

√7x2 - √3x2
-----------------
  √2x2

√14 - √6
-------------
√4

√14- √6
------------- ( resposta)
2

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Lukyo

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Caso tenha problemas para visualizar pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador: brainly.com.br/tarefa/8103368

_______________

Tem uma fórmula bem útil para simplificar radicais duplos. Segue o enunciado.

Dados dois números reais $\mathsf{a}$ e $\mathsf{b,}$ tais que $\mathsf{0\le b\le a,}$ valem as seguintes identidades:

• $\begin{array}{c}\mathsf{\sqrt{a+b}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}}+\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{2}}\qquad\quad(i)} \end{array}$

• $\begin{array}{c}\mathsf{\sqrt{a-b}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}}-\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{2}}\qquad\quad(ii)} \end{array}$

Note que se o resultado de $\mathsf{a^2-b^2}$ for um quadrado perfeito, aquelas raízes que aparecem nas fórmulas são simplificadas diretamente.

________

Eliminar os radicais aninhados da expressão

$\begin{array}{rcl}\mathsf{E=\sqrt{5-\sqrt{21}}}&\quad\longrightarrow\quad&\left\{\! \begin{array}{l}\mathsf{a=5}\\\mathsf{b=\sqrt{21}} \end{array} \right.\end{array}$

Aqui, temos

$\mathsf{a^2-b^2}\\\\ =\mathsf{5^2-(\sqrt{21})^2}\\\\ =\mathsf{25-21}\\\\ =\mathsf{4}\\\\ =\mathsf{2^2}\\\\\\ \therefore~~\mathsf{a^2-b^2=2^2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(\'e quadrado perfeito)}$

Substituindo na fórmula, obtemos

$\begin{array}{l} \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{2^2}}{2}}-\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{2^2}}{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{\dfrac{5+2}{2}}-\sqrt{\dfrac{5-2}{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{\dfrac{7}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} \end{array}$

Para racionalizar o denominador, multiplique e divida por $\mathsf{\sqrt{2}}:$

$\begin{array}{l} \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{7\cdot 2}-\sqrt{3\cdot 2}}{(\sqrt{2})^2}} \end{array}$

$\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

Bons estudos! :-)

Tags: raiz quadrada aninhada dupla simplificar radical irracional racionalizar expressão fração álgebra

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Lukyo Por nada =)

PenhaFerreira1 Ele é o "cara"

PenhaFerreira1 simmmm,td mérito pra ele.

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Eu resolvi e deu este resultado, estou correto?

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