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0°) grave erreur de ta part : donner 5 points pour un gros boulot ! ☺

1°) Uo = a ; U1 = a²+a = a(a+1) ;

     U2 = a²(a+1)² + a(a+1) ; ...

   ■ prenons a = -0,9 --> Uo = -0,9 ; U1 = -0,09 ; U2 = -0,0819 ;

                                          U3 = -0,0751924 ; ...

                               (Un) est croissante .

   ■ prenons a = -0,5 --> Uo = -0,5 ; U1 = -0,25 ;

                                        U2 = 1/16 - 0,25 = -3/16 = -0,1875 .

                              (Un) est croissante .

  ■ prenons a = -0,1 --> Uo = -0,1 ; U1 = -0,09 ; U2 = -0,0819 aussi !

                              (Un) est encore croissante !

  ■ ■ remarque : U1 = (b-0,5)² + (b-0,5) = b²-b+0,25 + b - 0,5 = b²-0,25

                           U1 = (-b-0,5)² + (-b-0,5) = b²+b+0,25 - b - 0,5 = b²-0,25

  ■ étude de la monotonie avec la dérivée :

     h(x) = x²+x donne h ' (x) = 2x+1 nulle pour x = -0,5

  ■ conclusion :(Un) est monotone croissante .

2a) h(x) = x²+x est croissante pour x > -0,5 ; d' où le tableau :

             x -->      -∞     -2        -1      -0,5       0        +1          +∞

      h ' (x) -->                -              -     0    +               +

         h(x) -->      +∞     2         0      -1/4        0        2         +∞  

      ■ pour x ∈ ] -1 ; 0 [ , on a bien h(x) ∈ ] -1 ; 0 [

2b) -1 < x²+x < 0 donne bien -1 < Un < 0 .

3°) pour n tendant vers l' infini :

     Lim (Un) = 0-

je te laisse réaliser l' algo ! ☺