Calcule o coeficiente de no polinômio cujas raízes são 0 (zero) com multiplicidade 3 e 2 com multi.... Pergunta de ideia deDanJR

December 2019 1 220 Report

Calcule o coeficiente de $\mathbf{x^{n + 1}}$ no polinômio $\mathbf{x^{n + 3} + a \cdot x^{n + 2} + ...}$ cujas raízes são 0 (zero) com multiplicidade 3 e 2 com multiplicidade $\mathbf{n}$ .

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superaks

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Olá Dan.

Pelo enunciado temos a seguinte expressão:

$\mathsf{p(x) = (x - 0)^3 . (x - 2)^n}\\\mathsf{p(x) = x^3 . (a\cdot x^n + b\cdot x^{n - 1} + c.x^{n - 2} + ... + x^0 \cdot 2^n)}$

Então queremos achar o coeficiente de $\maths{x^{n-2}}$ , ou seja, c.

Por binômio de Newton, temos:

$\mathsf{T_{p + 1} = \binom{n}{p}~x^{n - p} . (-2)^p}\\\\\\\mathsf{p=2}\\\\\ \\\mathsf{T_3=\binom{n}{2}\cdot x^{n-2}\cdot(-2)^2}\\\\\\\mathsf{T_3 = \dfrac{n!}{2! . (n - 2)!}\cdot x^{n-2}\cdot(4)}\\\\\\\mathsf{T_3=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{\diagup\!\!\!\!2\cdot(n-2)!}\cdot x^{n-2}\cdot\diagup\!\!\!\!4}\\\\\\\boxed{\mathsf{T_3=2n\cdot(n-1)\cdot x^{n-2}}}$

Portanto o coeficiente c será igual a 2n . (n - 1).

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DanJR Olá Aks, como havia lhe dito, não tenho a resposta dessa tarefa e encontrei uma diferente da sua. Optei em deixar os comentários aqui para que outros usuários possam participar... Beleza?!

DanJR Bom! eu fiz uma conta muito grande e se tivesse usado a fórmula T_{p + 1} =... teria concluído mais rápido [risos], mas enfim... "Abri" o binômio (x - 2)^n e determinei o coeficiente x^{n - 2} encontrando 2n(n - 1), aplicando a distributiva ficou 2n(n - 1)x^{n - 2 + 3};

DanJR Já o coeficiente de x^{n - 1} deu (- 2n). Com isso, ficou a seguinte dúvida: será que o Aks considerou p = 1 em vez de p = 2? Afinal, se considerarmos apenas o fator entre parênteses, "p" terá um valor (natural); mas se multiplicasse antes o termo entre parênteses com o fator x³, "p" terá outro valor (natural).

DanJR "p" teria*

DanJR Inclusive, a resposta final ficou em função de "a".

DanJR Depois de ter desenvolvido o binômio e multiplicado por x³, fiz uma comparação entre o polinômio desenvolvido e o polinômio dado no enunciado.

superaks Agradeço pela correção. Corrigido!

DanJR Não há de quê e obrigado, também, pela disponibilidade!