Seja a equação , onde e são números inteiros positivos e é um número primo. Determine os possívei.... Pergunta de ideia deDanJR

January 2020 1 237 Report

Seja a equação $\mathsf{p^n + 144 = q^2}$ , onde $\mathsf{n}$ e $\mathsf{q}$ são números inteiros positivos e $\mathsf{p}$ é um número primo. Determine os possíveis valores de $\mathsf{n}$ , $\mathsf{p}$ e $\mathsf{q}$ .

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GabrielMagal1

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$p^{n} +144 = q^{2}$

$p^{n} = q^{2} -144$

$p^{n} = (q+12).(q-12)$

Para n≠2 , temos :

$p^{n} = p^{n-x} . p^{x}$

Como $p^{n} = (q+12)(q-12)$ , igualando os fatores :

$p^{n-x} = q+12$

$p^{x} = q-12
$

Então :

$p^{n-x} - p^{x} = q+12-(q-12)$

$p^{n-x} - p^{x} = 24$

Agora achamos primos que tem 24 como diferença entre 2 potencias , começando por p=2 :

Teste para p=2 :

$2^{n-x} - 2^{x} = 24$

$2^{5} - 2^{3} = 24$ (potencias de 2 que satisfazem)

32 - 8 = 24 (V)

Logo para p = 2 , temos :

x = 3

n-x = 5 ⇒ n = 3+5 ⇒ n=8

Calculando q :

$2^{8} + 144 = q^{2}$

$q^{2} = 256+144$

$q^{2} = 400$ ⇒ q=20

Nesse caso : p = 2 ; n = 8 ; q = 20.

Teste para p = 3 :

$3^{n-x} - 3^{x} = 24$

$3^{3} - 3^{1} = 24$ (potencias de 3 que satisfazem)

27 - 3 = 24 (V)

Logo , para p=3 temos :

x = 1

n-x = 3 ⇒ n = 3+1 ⇒ n=4

Calculando q :

$3^{4} +144 = q^{2}$

$81+144 = q^{2}$

$q^{2} = 225$

q = 15 .

Nesse caso : p = 3 ; n = 4 ; q = 15

*** É fácil perceber que para primos maiores que 3 não é possivel satisfazer a condição da diferença entre potencias igual a 24 .

Voltando a $p^{n} = q^{2} - 144$ , para n = 2 :

$p^{2} = q^{2} - 144$

Podemos perceber outro caso , como q²-144 tem que ser positivo q tem que ser um numero a partir de 13 .

Testando q =13 :

$p^{2} = 13^{2} - 144$

$p^{2} = 169 - 144$

$p^{2} = 25$

p = 5 .

Nesse caso : p = 5 ; n = 2 ; q = 13

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GabrielMagal1 Zero formalidade mas estão aí as soluções que encontrei kkk

DanJR Olá Gabriel! Inicialmente, devo parabenizá-lo pela resolução. Também concluí isso!

DanJR Mas,...

DanJR [risos]

DanJR Na parte final, especificamente em ***, afirmara não ser possível haver "p" primo maior que 3 cuja diferença de potências resulte em 24; mas achou p = 5.

GabrielMagal1 Valeu ;)

GabrielMagal1 Eu disse que o p não podia ser maior que 3 para o caso em que n≠2 , dá uma olhada

GabrielMagal1 Onde eu pus a restrição vou por que é para o caso de n≠2 para ficar melhor

GabrielMagal1 Não redigi bem essa parte , mas eu quis dizer que não valia para n≠2

DanJR Ah! Sim!