Como calculo essa derivada y^x = x^y ?.... Pergunta de ideia deTheAprendiz

December 2019 1 65 Report

Como calculo essa derivada y^x = x^y ?

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Lukyo
Esta tarefa envolve derivação implícita.

Considerando y como função de x, calcular a derivada da função, cuja lei é dada implicitamente pela equação

$y^x=x^y$

Por definição, podemos reescrever as exponenciais envolvidas:

• $y^x=(e^{\ln y})^x=e^{x\ln y}$ onde y > 0;

• $x^y=(e^{\ln x})^y=e^{y\ln x}$ onde x > 0;

de modo que a igualdade fica

$e^{x\ln y}=e^{y\ln x}$

Como a função exponencial é injetora, a igualdade acima é equivalente à igualdade entre os expoentes:

$x\ln y=y\ln x$

Agora sim, podemos derivar ambos os lados, usando a regra do produto:

$\dfrac{d}{dx}(x\ln y)=\dfrac{d}{dx}(y\ln x)\\\\\\ \dfrac{d}{dx}(x)\cdot \ln y+x\cdot \dfrac{d}{dx}(\ln y)=\dfrac{d}{dx}(y)\cdot \ln x+y\cdot \dfrac{d}{dx}(\ln x)\\\\\\ 1\cdot \ln y+x\cdot \left(\dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx} \right )=\dfrac{dy}{dx}\cdot \ln x+y\cdot \dfrac{1}{x}\\\\\\ \ln y+\dfrac{x}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dx}\cdot \ln x+\dfrac{y}{x}$

Isolando dy/dx:

$\dfrac{x}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{dy}{dx}\cdot \ln x=\dfrac{y}{x}-\ln y\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}\cdot \left(\dfrac{x}{y}-\ln x\right)=\dfrac{y}{x}-\ln y\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{~\frac{y}{x}-\ln y~}{~\frac{x}{y}-\ln x~}$

Multiplicando o numerador e o denominador do lado direito por xy,

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(\frac{y}{x}-\ln y)\cdot xy}{(\frac{x}{y}-\ln x)\cdot xy}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{xy^2}{x}-xy\ln y}{\frac{x^2 y}{y}-xy\ln x}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2-xy\ln y}{x^2-xy\ln x}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y\cdot (y-x\ln y)}{x\cdot (x-y\ln x)}$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{y-x\ln y}{x-y\ln x}$ <———— esta é a resposta.

Bons estudos! :-)

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Alguém saberia calcular esse limite, sem usar L'Hôpital?

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TheAprendiz November 2019 | 0 Respostas

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TheAprendiz November 2019 | 0 Respostas

To tentando resolver esse limite, mas só chego a 0, e no livro diz que é 1. Alguém sabe calcular?

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TheAprendiz November 2019 | 0 Respostas

Dado esse limite Como eu calculo os limites laterais desse limite. Eu sei que pela esquerda de x o limite é zero e pela direita de x o limite e +∞, mas algebricamente não consigo determinar esses limites laterais.

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TheAprendiz August 2019 | 0 Respostas

Uma ajuda em coordenadas polares, como transformar a função cartesiana y = x para coordenadas polares, e como transformar a função r = √θ para cartesiana? Agradecido por quem ajudar.

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TheAprendiz August 2019 | 0 Respostas

Em cálculo, existe alguma diferença dos termos "derivação" e "diferenciação", li um livro que afirma que a uma diferença mas deixou implícito qual era essa diferença. Se alguém souber ficarei grato.

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TheAprendiz August 2019 | 0 Respostas

Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 cm. Empaquei nessa questão, tenho uma certa dificuldade de enxergar a situação.

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TheAprendiz August 2019 | 0 Respostas

Dúvida de Álgebra Linear É correto afirmar que em todo espaço vetorial ax = bx implica que a = b, sendo a e b escalares. Justifique

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TheAprendiz June 2019 | 0 Respostas

Integrais de Linha. Um arame tem a forma da curva interseção do cilindro parabólico z = 4 - y², z ≥ 0 com o plano x = 4 - y. Calcule a massa do arame se sua densidade em cada ponto é p(x,y,z)=|y|.

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Alguém saberia calcular esse limite, sem usar L'Hôpital?

To tentando resolver esse limite, mas só chego a 0, e no livro diz que é 1. Alguém sabe calcular?

Dado esse limite Como eu calculo os limites laterais desse limite. Eu sei que pela esquerda de x o limite é zero e pela direita de x o limite e +∞, mas algebricamente não consigo determinar esses limites laterais.

Uma ajuda em coordenadas polares, como transformar a função cartesiana y = x para coordenadas polares, e como transformar a função r = √θ para cartesiana? Agradecido por quem ajudar.

Em cálculo, existe alguma diferença dos termos "derivação" e "diferenciação", li um livro que afirma que a uma diferença mas deixou implícito qual era essa diferença. Se alguém souber ficarei grato.

Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 cm. Empaquei nessa questão, tenho uma certa dificuldade de enxergar a situação.

Dúvida de Álgebra Linear É correto afirmar que em todo espaço vetorial ax = bx implica que a = b, sendo a e b escalares. Justifique

Integrais de Linha. Um arame tem a forma da curva interseção do cilindro parabólico z = 4 - y², z ≥ 0 com o plano x = 4 - y. Calcule a massa do arame se sua densidade em cada ponto é p(x,y,z)=|y|.

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