Dado esse limite Como eu calculo os limites laterais desse limite. Eu sei que pela esquerda de x o.... Pergunta de ideia deTheAprendiz

November 2019 1 40 Report

Dado esse limite

$\lim x^{ \frac{1}{3-x} } \\ _{x \to 3}$

Como eu calculo os limites laterais desse limite.

Eu sei que pela esquerda de x o limite é zero e pela direita de x o limite e +∞, mas algebricamente não consigo determinar esses limites laterais.

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Lukyo

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Calcular o limite

$L=\lim\limits_{x\to 3}~x^{1/(3-x)}$

Expresse a composta de exponencial usando a definição de exponencial:

$x^{1/(3-x)}=\exp\left(\ln x\cdot \dfrac{1}{3-x}\right)$

e o limite fica

$\displaystyle L=\lim_{x\to 3}\exp\!\left(\ln x\cdot \frac{1}{3-x}\right)\\\\\\ L=\exp\left(\lim_{x\to 3}~\frac{\ln x}{3-x}\right)$

Ao fazer $x\to 3,$ caímos em uma indeterminação do tipo "k/0", sendo k = ln 3 (uma constante positiva). Dessa forma, devemos olhar os limites laterais.

• Estudando o sinal do denominador 3 − x:

3 − x > 0, para x < 3

3 − x < 0, para x > 3

• Computando o limite lateral pela esquerda (x < 3):

$L_-=\exp\left(\lim\limits_{x\to 3^-}~\dfrac{\ln x}{3-x}\right)$

Como o denominador é positivo na vizinhança à esquerda de x = 3, o resultado do limite será

$\displaystyle L_-=\exp\!\left(\dfrac{\ln 3}{0^+}\right)\\\\\\ L_-=\exp(+\infty)\\\\ L_-=+\infty$

• Computando o limite lateral pela direita (x > 3):

$L_+=\exp\left(\lim\limits_{x\to 3^+}~\dfrac{\ln x}{3-x}\right)$

Como o denominador é negativo na vizinhança à direita de x = 3, o resultado do limite será

$L_+=\exp\!\left(\dfrac{\ln 3}{0^-}\right)\\\\\\ L_+=\exp(-\infty)\\\\ L_+=\dfrac{1}{\exp(+\infty)}\\\\\\ L_+=\dfrac{1}{+\infty}\\\\\\ L_+=0$

Logo, o limite

$L=\lim\limits_{x\to 3}~x^{1/(3-x)}$

não existe.

Bons estudos! :-)

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