Considere a circunferência C : x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0 e a reta r : y = 2x +1, sendo k uma consta.... Pergunta de ideia deKrikor

January 2020 1 403 Report

Considere a circunferência C : x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0 e a reta
r : y = 2x +1, sendo k uma constante.

a) Calcule as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência C.

b) Calcule as coordenadas dos pontos de intersecção entre a circunferência C e a reta r.

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Lukyo

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• Equação da circunferência: $\mathsf{C:~x^2+y^2-4x-6y-12=0}$

• Equação da reta: $\mathsf{r:~y=2x+1}$

_______

a) Primeiramente vamos colocar a equação da circunferência na forma reduzida:

$\mathsf{C:~(x-x_{_O})^2+(y-y_{_O})^2=\rho^2}$

sendo o ponto $\mathsf{(x_{_O},\,y_{_O})}$ o centro e $\mathsf{\rho}$ é o comprimento do raio.

Partindo da equação dada e completando os quadrados:

$\mathsf{C:~x^2+y^2-4x-6y-12=0}\\\\ \mathsf{C:~x^2-4x+y^2-6y=12}\\\\ \mathsf{C:~x^2-2\cdot 2x+y^2-2\cdot 3y=12}$

Somamos $\mathsf{2^2+3^2}$ a ambos os lados para obtermos quadrados perfeitos no lado esquerdo:

$\mathsf{C:~\underbrace{\mathsf{x^2-2\cdot 2x+2^2}}+\underbrace{\mathsf{{y^2-2\cdot 3y+3^2}}}=12+2^2+3^2}\\\\\\ \mathsf{C:(x-2)^2+(y-3)^2=12+4+9}\\\\ \mathsf{C:(x-2)^2+(y-3)^2=25}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{C:(x-2)^2+(y-3)^2=5^2} \end{array}}\qquad\quad\mathsf{(i)}$

Da equação reduzida acima, tiramos que

•   o centro é o ponto $\mathsf{(x_{_O},\,y_{_O})=(2,\,3);}$

•   o raio é $\mathsf{\rho=5~u.c.}$

__________

b) Encontrar as interseções da circunferência com a reta.

Isto é equivalente a encontrar as soluções do seguinte sistema:

$\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{x^2+y^2-4x-6y-12=0}\\\\ \mathsf{y=2x+1} \end{array} \right.$

Podemos usar o $\mathsf{y}$ da equação da reta e substituir na equação da circunferência:

$\mathsf{y=2x+1}\\\\\\ \mathsf{x^2+(2x+1)^2-4x-6(2x+1)-12=0}\\\\ \mathsf{x^2+(4x^2+\diagup\!\!\!\!\! 4x+1)-\diagup\!\!\!\!\! 4x-12x-6-12=0}\\\\ \mathsf{5x^2-12x-17=0}$

Podemos utilizar qualquer método para resolver a equação quadrática acima. Aqui, vou utilizar fatoração por agrupamento.

Reescrevendo convenientemente $\mathsf{-12x}$ como $\mathsf{-17x+5x,}$ obtemos

$\mathsf{5x^2-17x+5x-17=0}\\\\ \mathsf{x\cdot (5x-17)+1\cdot (5x-17)=0}\\\\ \mathsf{(5x-17)\cdot(x+1)=0}\\\\ \mathsf{\begin{array}{rcl} \mathsf{5x-17=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x+1=0}\\\\ \mathsf{5x=17}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=-1}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{17}{5}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=-1} \end{array}}$

•   Para $\mathsf{x=\dfrac{17}{5},}$

$\mathsf{y=2\cdot \dfrac{17}{5}+1}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{2\cdot 17}{5}+\dfrac{5}{5}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{34}{5}+\dfrac{5}{5}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{34+5}{5}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{39}{5}\qquad\checkmark}$

Encontramos um ponto de interseção que é o $\mathsf{\Big(\dfrac{17}{5},\,\dfrac{39}{5}\Big).}$

•   Para $\mathsf{x=-1,}$

$\mathsf{y=2\cdot (-1)+1}\\\\ \mathsf{y=-2+1}\\\\ \mathsf{y=-1\qquad\checkmark}$

Encontramos outro ponto de interseção que é o $\mathsf{(-1,\,-1).}$

Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: brainly.com.br/tarefa/7600755

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Tags: coordenadas centro raio circunferência reta ponto interseção geometria analítica

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Krikor Não entendi a parte do ''Somamos 2²+3² a ambos os lados para obtermos quadrados perfeitos no lado esquerdo''. Você poderia me explicar?

Lukyo Para completar os trinômios quadrados perfeitos. Completamento de quadrados.

Lukyo Veja que no lado esquerdo aparece x² – 2 . 2x

Lukyo falta um + 2² para que se torne igual a um quadrado perfeito: x² – 2 . 2x + 2² = (x – 2)²

Lukyo O mesmo vale para y² – 2 . 3y. Falta um 3² para completar o quadrado: y² – 2 . 3y + 3² = (y – 3)² o quadrado da diferença, produtos notáveis.

Krikor Ah, entendi! é como se tivesse faltando uma parte dos dois quadrados perfeitos, mas daí pra completa você teve que adicionar essa parte dos dois lados.

Krikor Essa parte era o a e o b, que são o x do vértice e o y do vértice. E de quebra você ainda encontrou o raio.

Lukyo são o x e o y do centro.

Krikor Isso, do centro!