Considere a função: f(x)= x²-6x+5. É correto afirmar que:
( ) O vértice do gráfico da função f é (3,-4)
( )A imagem da função f é o intervalo [-4,5]
( )A interseção da reta x ocorre nos pontos (5,0) e (1,0)
( ) seu ponto máximo é -4
( ) O vértice do gráfico da função f é (3,-4)
( )A imagem da função f é o intervalo [-4,5]
( )A interseção da reta x ocorre nos pontos (5,0) e (1,0)
( ) seu ponto máximo é -4
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Vamos lá.Veja, MariClara, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte função, acerca da qual depois diremos se cada afirmação dada é FALSA ou VERDADEIRA:
f(x) = x² - 6x + 5
Agora vamos responder se são FALSAS ou VERDADEIRAS cada afirmação escrita sobre ela.
i) O vértice do gráfico da função "f" é (3; -4).
Vamos ver. Note que as coordenadas do vértice são dadas por (xv; yv), cujas fórmulas para encontrá-las são estas:
xv = -b/2a ----- substituindo-se "b" por "-6" e "a" por "1" (pois note que a equação da sua questão tem os seguintes coeficientes: a = 1, que é o coeficiente de x²; b = -6, que é o coeficiente de "x"; e c = 5, que é o coeficiente do termo independente), teremos:
xv = -(-6)/2*1
xv = 6/2
xv = 3 <--- Esta é a abscissa do vértice.
yv = - (b² - 4ac)/4a ---- substituindo-se "b" por "-6", "a" por "1" e "c" por "5", teremos:
yv = - ((-6²)² - 4*1*5)/4*1
yv = - (36 - 20)/4
yv = - (16)/4
yv = -16/4
yv = - 4 <--- Esta é a ordenada do vértice.
Assim, como você viu aí em cima, tem-se que o vértice do gráfico de "f" é, realmente o ponto (3; -4).
Assim, esta afirmação é VERDADEIRA.
ii) A imagem da função "f" é o intervalo [4; 5]
Note: já poderemos afirmar, de logo, que esta afirmação é FALSA.
Veja porque dizemos isso. O conjunto-imagem de uma função do 2º grau será maior ou menor do que o "y" do vértice, que já vimos que é igual a "-4", ou seja, o "y" do vértice é igual a "-4".
E, como o termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) é positivo, então o gráfico tem a concavidade voltada pra cima (logo tem um ponto de mínimo). Assim, o conjunto-imagem será MAIOR ou IGUAL a "-4", ou seja, o conjunto-imagem será:
[-4; +∞) e não [-4; 5] como foi dado. Em outras palavras, o conjunto-imagem não está restrito ao intervalo fechado [4; 5], mas a todo o intervalo a partir do "-4" e indo até o mais infinito. Por isso é que esta afirmação é FALSA.
iii) A intersecção com o eixo "x" dá-se nos pontos (5; 0) e (1; 0).
Resposta: afirmação VERDADEIRA, pois a parábola interceptará o eixo "x" exatamente nos pontos das raízes da equação dada [f(x) = x² - 6x + 5].
Note que se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:
x' = 5
x'' = 1.
Logo, a parábola cortará o eixo "x" exatamente nos pontos onde x = 5 e onde x = 1, que é a mesma coisa que os pontos (5; 0) e (1; 0).
Por isso esta afirmação é VERDADEIRA.
iv) O seu ponto máximo é "-4".
Resposta: afirmação FALSA, pois você já viu que o vértice é dado pelo ponto (3; -4). E, como a parábola tem a concavidade voltada pra cima, então esse ponto é de mínimo e não de máximo. Logo, "-4" é o seu ponto mínimo (e não de máximo).
Por isso esta afirmação é FALSA.
Assim, como você viu, são VERDADEIRAS as opções (i) e (iii) e são FALSAS as opções (ii) e (iv).
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.