Considere o número complexo (img) a) Determine a parte real e a parte imaginária de z0. b) Determine.... Pergunta de ideia deKrikor

January 2020 1 234 Report

Considere o número complexo

(img)

a) Determine a parte real e a parte imaginária de z0.

b) Determine a e b, de modo que z =1-i seja solução da equação z^2 + az +b = 0.

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superaks

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Organizando a equação:

$\mathsf{z_0=4i+\dfrac{13}{2+3i}}\\\\\\\mathsf{z_0=\dfrac{4i\cdot(2+39)+13}{2+3i}}\\\\\\\mathsf{z_0=\dfrac{8i+156i+13}{2+3i}}\\\\\\\mathsf{z_0=\dfrac{164i+13}{2+3i}}$

Sabendo que um número complexo tem o seguinte formato: $\mathsf{z=a+bi}$

a = parte real
b = parte imaginária

$\mathsf{A-}$

Vamos efetuar agora a divisão de $\mathsf{z_0}$ para encontrar sua parte real e sua parte imaginária.

Para efetuar a divisão de um número completo precisamos antes multiplica-lo pelo conjugado do seu denominador.

Conjugado de um número complexo: $\mathsf{\=z=(a,-b)\to\=z=a-bi}$

Ou seja, basta trocar o sinal da parte imaginaria.

Efetuando a divisão:

$\mathsf{z_0=\dfrac{164i+13}{2+3i}\cdot\dfrac{2-3i}{2-3i}\to z_0=\dfrac{328i-492i^2+26-39i}{4-6i+6i-9i^2}}\\\\\\\mathsf{z_0=\dfrac{289i+(492+26)}{4+9}\to z_0=\dfrac{518+289i}{13}}\\\\\\\\\mathsf{Parte~real=\boxed{\mathsf{\dfrac{518}{13}}}}\\\\\\\mathsf{Parte~imagin\'aria=\boxed{\mathsf{\dfrac{289i}{13}}}}$

$\mathsf{B-}$

Já que 1 - i é a solução da raiz, basta substituirmos na equação:

$\mathsf{ z^2 + az +b = 0}\\\mathsf{(1-i)^2+a.(1-i)+b=0}\\\mathsf{1-2i+i^2+a-ai+b=0~\gets~i^2=-1}\\\mathsf{\diagup\!\!\!1-2i-\diagup\!\!\!1+a-ai+b=0}\\\mathsf{-2i+a-ai+b=0}\\\mathsf{a+b-2i-ai=0}\\\mathsf{a+b-(2+a)i=0}$

A parte real a + b tem que ser igual a 0 e a parte imaginária também, então temos:

$\mathsf{2+a=0}\\\mathsf{a=-2}\\\\\mathsf{b-2=0}\\\mathsf{b=2}$

$\mathsf{z^2 -2z +2 =0}$

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