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Krikor
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December 2019
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Encontre a solução da seguinte equação modular:
|x²-1| + x = 0
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superaks
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Olá Krikor.
Encontre a solução da seguinte equação modular:
|x² - 1| + x = 0
_______________________________________
Relação modular.
|x| = x se, x ≥ 0
|x| = -x se, x < 0
Condição de existência de módulo.
|x| = a se, a ≥ 0
Organizando a equação. temos.
|x² - 1| + x = 0
|x² - 1| = -x
Precisamos checar então a condição de existência de
(-x)
.
-x ≥ 0 * (-1)
x ≤ 0
C.E = {x ∈ |R : x ≤ 0}
Considerando o primeiro caso, onde
|x² - 1| ≥ 0
, temos.
x² - 1 + x = 0
x² + x - 1 = 0 + (1/2)²
x² + x + (1/2)² = 1 + (1/2)²
(x + 1/2)² = 1 + 1/4
(x + 1/2)² = 5/4
√(x + 1/2)² = √5/4
x + 1/2 = (+/-) √5 * 1/2
x' + 1/2 = √5 * 1/2
x' = √5 * 1/2 - 1/2
x' = 1/2*(√5 - 1)
x'' + 1/2 = - √5 * 1/2
x'' = - √5 * 1/2 - 1/2
x'' = -1/2*(√5 + 1)
Pela
C.E
x deve ser menor ou igual a 0, portanto
x'
não serve.
Verificando agora para
|x² - 1| < 0
, temos.
- (x² - 1) + x = 0
-x² + 1 + x = 0
-x² + x + 1 = 0 * (-1)
x² - x - 1 = 0 + (1/2)²
x² - x + (1/2)² = 1 + (1/2)²
(x - 1/2)² = 1 + 1/4
(x - 1/2)² = 5/4
√(x - 1/2)² = √5/4
x - 1/2 = (+/-) √5 * 1/2
x'" - 1/2 = √5 * 1/2
x'" = √5 * 1/2 + 1/2
x'" = 1/2 * (√5 + 1)
x''" - 1/2 = - √5 * 1/2
x"" = - √5 * 1/2 + 1/2
x"" = 1/2 * (-√5 + 1)
Pela
C.E,
x"' não serve.
Portanto as soluções são.
S = {-1/2 * (√5 + 1), 1/2 * (-√5 + 1)}
Dúvidas? comente.
3 votes
Thanks 1
Krikor
Muito bom! Eu sempre me atrapalho com a C.E.
Krikor
Mas depois das resposta que tive hoje acho que vai dar uma clareada! :)
Krikor
Valeu, Aks!
superaks
:D !
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Olá Krikor.Encontre a solução da seguinte equação modular:
|x² - 1| + x = 0
_______________________________________
Relação modular.
|x| = x se, x ≥ 0
|x| = -x se, x < 0
Condição de existência de módulo.
|x| = a se, a ≥ 0
Organizando a equação. temos.
|x² - 1| + x = 0
|x² - 1| = -x
Precisamos checar então a condição de existência de (-x).
-x ≥ 0 * (-1)
x ≤ 0
C.E = {x ∈ |R : x ≤ 0}
Considerando o primeiro caso, onde |x² - 1| ≥ 0, temos.
x² - 1 + x = 0
x² + x - 1 = 0 + (1/2)²
x² + x + (1/2)² = 1 + (1/2)²
(x + 1/2)² = 1 + 1/4
(x + 1/2)² = 5/4
√(x + 1/2)² = √5/4
x + 1/2 = (+/-) √5 * 1/2
x' + 1/2 = √5 * 1/2
x' = √5 * 1/2 - 1/2
x' = 1/2*(√5 - 1)
x'' + 1/2 = - √5 * 1/2
x'' = - √5 * 1/2 - 1/2
x'' = -1/2*(√5 + 1)
Pela C.E x deve ser menor ou igual a 0, portanto x' não serve.
Verificando agora para |x² - 1| < 0, temos.
- (x² - 1) + x = 0
-x² + 1 + x = 0
-x² + x + 1 = 0 * (-1)
x² - x - 1 = 0 + (1/2)²
x² - x + (1/2)² = 1 + (1/2)²
(x - 1/2)² = 1 + 1/4
(x - 1/2)² = 5/4
√(x - 1/2)² = √5/4
x - 1/2 = (+/-) √5 * 1/2
x'" - 1/2 = √5 * 1/2
x'" = √5 * 1/2 + 1/2
x'" = 1/2 * (√5 + 1)
x''" - 1/2 = - √5 * 1/2
x"" = - √5 * 1/2 + 1/2
x"" = 1/2 * (-√5 + 1)
Pela C.E, x"' não serve.
Portanto as soluções são.
S = {-1/2 * (√5 + 1), 1/2 * (-√5 + 1)}
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