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A)

[tex]y = \sqrt{x} \: sinx[/tex]

[tex] \small{y' = ( \sqrt{x} )' .sin(x) + \sqrt{x} .(sin(x))'}[/tex]

[tex] \small{y' = ( {x}^{ \frac{1}{2} } )' .sin(x) + \sqrt{x} .(sin(x))'}[/tex]

[tex] \small{y' = \frac{1}{2}. {x}^{ \frac{1}{2} - 1 } .sin(x) + \sqrt{x} .cos(x)}[/tex]

[tex] \small{y' = \frac{1}{2}. {x}^{ - \frac{1}{2} } .sin(x) + \sqrt{x} .cos(x)}[/tex]

[tex] \small{y' = \frac{1}{2}. \frac{1}{ {x}^{ \frac{1}{2} } } .sin(x) + \sqrt{x} .cos(x)}[/tex]

[tex] \small{y' = \frac{1}{2}. \frac{1}{ \sqrt{x} } .sin(x) + \sqrt{x} .cos(x)}[/tex]

[tex] \boxed{ \small{y' = \frac{1}{ 2\sqrt{x} } \: . \: sin(x) + \sqrt{x} \: . \: cos(x)}}[/tex]

...............

B)

[tex]y = \frac{6 {x}^{2} + 2 }{ \sqrt{x} } [/tex]

[tex]y ' = \frac{(6 {x}^{2} + 2) ' \: . \: ( \sqrt{x} ) - (6 {x}^{2} + 2) \: . \: ( \sqrt{x} ) '}{( \sqrt{x} )^{2} } [/tex]

[tex] \boxed{y ' = \frac{12x \sqrt{x} - (6 {x}^{2} + 2) \: . \: \frac{1}{2 \sqrt{x} } }{x } }[/tex]

..............

C)

[tex]y = \frac{tg(x)}{ \sqrt{x} } [/tex]

[tex]y ' = \frac{(tg(x))'. \sqrt{x} - tg(x).( \sqrt{x})'}{ (\sqrt{x}) ^{2} } [/tex]

[tex] \boxed{y ' = \frac{sec ^{2}(x) . \sqrt{x} - tg(x). \frac{1}{2 \sqrt{x} } }{x}}[/tex]

..............

D)

[tex]y =4 {x}^{2} . \sqrt{x} [/tex]

[tex]y' = (4 {x}^{2} )'. \sqrt{x} + 4 {x}^{2} .( \sqrt{x} )'[/tex]

[tex]y' = 8x\sqrt{x} + 4 {x}^{2} . \: \frac{1}{2 \sqrt{x} } [/tex]

[tex]y' = 8x\sqrt{x} + \: \frac{4 {x}^{2} }{2 \sqrt{x} } [/tex]

[tex] \boxed{y' = 8x\sqrt{x} + \: \frac{2 {x}^{2} }{ \sqrt{x} } }[/tex]

..............

E)

[tex]y = \sqrt[3]{x} \: . \: {e}^{x} [/tex]

[tex]y' = (\sqrt[3]{x}) ' . \: {e}^{x} + \sqrt[3]{x} . \: ({e}^{x} ) ' [/tex]

[tex]y' = ( {x}^{ \frac{1}{3} } ) ' . \: {e}^{x} + \sqrt[3]{x} . \: {e}^{x} [/tex]

[tex]y' = \frac{1}{3} {x}^{ \frac{1}{3} - 1 } . \: {e}^{x} + \sqrt[3]{x} . \: {e}^{x} [/tex]

[tex]y' = \frac{1}{3} {x}^{ - \frac{2}{3} } . \: {e}^{x} + \sqrt[3]{x} . \: {e}^{x} [/tex]

[tex]y' = \frac{1}{3} . \frac{1}{ {x}^{ \frac{2}{3} } } . \: {e}^{x} + \sqrt[3]{x} . \: {e}^{x} [/tex]

[tex]y' = \frac{1}{3} . \frac{1}{ \sqrt[3]{ {x}^{2} } } . \: {e}^{x} + \sqrt[3]{x} . \: {e}^{x} [/tex]

[tex] \boxed{y' = \frac{1}{ 3\sqrt[3]{ {x}^{2} } } . \: {e}^{x} + \sqrt[3]{x} . \: {e}^{x} }[/tex]

PROPRIEDADES DE POTENCIAÇÃO: Expoente negativo

Se tens [tex] {x}^{ - k}[/tex]podemos reescrever desta maneira:[tex] \frac{1}{ {x}^{k} } [/tex]

DERIVADA DA POTENCIA: Se tens a potência[tex] {x}^{h} [/tex]a sua derivada será [tex]h. {x}^{h - 1} [/tex]

POPRIEDADE DA RADICIAÇAO: se tens uma raiz [tex] \sqrt[h]{ {x}^{y} } [/tex]podemos reescrever lá desta maneira:[tex] {x}^{ \frac{y}{h} } [/tex]

DERIVADA DA FUNÇÃO SENO: se tens a função sen(x) a sua derivada sempre será cos(x)

DERIVADA DA FUNÇÃO TANGENTE: se tens a funçào tan(x) a sua derivada será sempre sec²(x)