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✅ Quanto a existência dos limites dados, é possível afirmar que

[tex] \large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm\lim_{x\to1^+} \dfrac{|x-1|}{x-1} = 1 \\\\\displaystyle\rm\lim_{x\to1^-} \dfrac{|x-1|}{x-1} = -1 \\\\\displaystyle\rm\nexists\lim_{x\to1} \dfrac{|x-1|}{x-1} \\\\\displaystyle\rm\nexists\lim_{x\to0} \dfrac{|x^2-x|}{x} \end{array} [/tex]

☁️ Limites laterais: Sejam [tex] \rm f:X\subset\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} [/tex] e [tex] \rm a \in X [/tex]. Dizemos que [tex] \displaystyle\rm\lim_{x\to a} f(x) = L [/tex], se e somente se os limites à direita e a esquerda de [tex] \rm a [/tex] convergem ao mesmo valor [tex] \rm L [/tex].

[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad \displaystyle\rm\lim_{x\to a^+} f(x) = L = \lim_{x\to a^-} f(x) \qquad}}} [/tex]

✍️ Solução: O limite abaixo não existe

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \displaystyle\rm\lim_{x\to1} \dfrac{|x-1|}{x-1} \end{array} [/tex]

Note que para [tex] \rm x\to1^+ [/tex], isto é, para valores de [tex] \rm x [/tex] que tendem a [tex] \rm 1 [/tex] por valores maiores do que [tex] \rm 1 [/tex], a função se aproxima de [tex] \rm 1 [/tex], uma vez que o numerador, por estar em módulo, sempre será positivo e o denominador será positivo, pois é a diferença entre um número maior do que [tex] \rm 1 [/tex] pelo próprio [tex] \rm 1 [/tex]. Como não há uma divisão por zero, pela definição de limites, o quociente resulta em [tex] \rm 1 [/tex].

Uma análise semelhante pode ser feita para [tex] \rm x\to1^- [/tex], i.e., para valores de [tex] \rm x [/tex] que tendem a [tex] \rm 1 [/tex] por valores menores do que [tex] \rm 1 [/tex]. Nesse caso, a função se aproximará de [tex] \rm -1 [/tex], pelo fato de que o numerador será sempre positivo e a diferença no denominador será menor do que [tex] \rm -1 [/tex]. Novamente pela definição de limite, não há divisão por zero, logo o limite resulta em [tex] \rm -1 [/tex].

A mesma análise se faz para

[tex] \large\begin{array}{lr} \displaystyle\rm\lim_{x\to0} \dfrac{|x^2-x|}{x} \end{array} [/tex]

E conclui-se que o limite não existe, pois

[tex] \large\begin{array}{lr} \displaystyle\rm\lim_{x\to0^+} \dfrac{|x^2-x|}{x} = 1 \\\\\rm \displaystyle\rm\lim_{x\to0^-} \dfrac{|x^2-x|}{x} = -1 \end{array} [/tex]

✔️ Essa é a ideia. Qualquer dúvida, é só comentar!

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre cálculo, limites de funções:

[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]