Resposta:

f'(x) = (1/x - ln(x)) / eˣ

Explicação passo-a-passo:

Para calcular a derivada de f(x) = ln(x)/eˣ, usamos a regra do quociente e a regra da cadeia.

1. Aplicando a regra do quociente, temos:

f'(x) = (eˣ * (d/dx)[ln(x)] - ln(x) * (d/dx)[eˣ]) / (eˣ)²

2. Agora, vamos calcular as derivadas de ln(x) e eˣ:

(d/dx)[ln(x)] = 1/x

(d/dx)[ex] = eˣ

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

f'(x) = (eˣ * (1/x) - ln(x) * eˣ) / (eˣ)²

Simplificando, obtemos:

f'(x) = (1/x - ln(x)) / eˣ

Essa é a derivada da função f(x).

Verified answer

[tex]f'(x) = \frac{ \frac{ {e}^{x} }{x} - ln(x)\cdot {e}^{x}}{ {e}^{2x} } [/tex]

Explicação:

DERIVADA DA DIVISÃO DE DUAS FUNÇÕES: Se tens uma divisão de duas funções

[tex] \frac{h(x)}{g(x)} [/tex]

a derivada será dada por:

[tex] \frac{h'(x) \cdot g(x) - h(x) \cdot g'(x) }{ {(g(x))}^{2} } [/tex]

..............

A função dada é:

[tex]f( x) = \frac{ln(x)}{ {e}^{x} } [/tex]

Como é uma divisão de funções aplica-se a propriedade dada acima:

[tex]f'(x) = \frac{(ln(x))'\cdot {e}^{x} - ln(x)\cdot ({e}^{x})'}{ {( {e}^{x} )}^{2} } [/tex]

Deriva-se o que surgiu.

DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARITMICA ESPECIAL: se tens a função ln(x) a derivada será dada por

[tex] \frac{1}{x} [/tex]

DERIVADA DA EXPONENCIAL ESPECIAL: se tens a função

[tex] {e}^{x} [/tex]

a sua derivada será dada por ela mesma

[tex] {e}^{x} [/tex]

Portanto tínhamos:

[tex]f'(x) = \frac{(ln(x))'\cdot {e}^{x} - ln(x)\cdot ({e}^{x})'}{ {( {e}^{x} )}^{2} } [/tex]

e ficaremos com:

[tex]f'(x) = \frac{ \frac{1}{x} \cdot {e}^{x} - ln(x)\cdot {e}^{x}}{ {( {e}^{x} )}^{2} } [/tex]

No numerador façamos a multiplicação da fraçao. E no denominador vamos multiplicar os expoentes.

[tex]f'(x) = \frac{ \frac{ {e}^{x} }{x} - ln(x)\cdot {e}^{x}}{ {e}^{2x} } [/tex]

Está é a resposta!