Resposta: Alternativa A. O valor do resto da divisão é 6.

Explicação passo a passo:

Para responder esta tarefa, usaremos o seguinte critério:

Seja [tex]n=10a+b,[/tex] um número natural, com [tex]a,\,b\in\mathbb{N}[/tex] e [tex]0\le b\le 9.[/tex]

Reduzimos o número [tex]n=10a+b[/tex] a outro número [tex]m=a-2b.[/tex] Perceba que [tex]m\le n.[/tex]

De posse destas informações, valem:

     (i)   Se [tex]a-2b\equiv r\quad(\mathrm{mod~}7),[/tex] então [tex]10a+b\equiv 3r\quad(\mathrm{mod~}7).[/tex]

     (ii)   [tex]7|(10a+b)[/tex] se e somente se [tex]7|(a-2b).[/tex]

• Calculando o resto da divisão de 10135 por 7.

     [tex]n=10135=10\cdot (1013)+(5)\quad\Longrightarrow\quad a=1013,~~b=5[/tex]

     [tex]\Longrightarrow\quad a-2b=(1013)-2\cdot (5)=1003.[/tex]

Reduzindo [tex]1003,[/tex] temos

     [tex]1003=10\cdot (100)+(3)\quad\Longrightarrow\quad a=100,~~b=3[/tex]

     [tex]\Longrightarrow\quad a-2b=(100)-2\cdot (3)=94.[/tex]

Já podemos escrever

     [tex]\begin{array}{l} 94=7\cdot 13+3\quad\Longleftrightarrow\quad 94\equiv 3\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (100)-2\cdot (3)\equiv 3\quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}[/tex]

     [tex]\begin{array}{l} \overset{\mathrm{(i)}}{\Longrightarrow}\quad 10\cdot (100)+(3)\equiv 3\cdot 3\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1003\equiv 9\equiv 2 \quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (1013)-2\cdot (5)\equiv 2 \quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}[/tex]

     [tex]\begin{array}{l} \overset{\mathrm{(i)}}{\Longrightarrow}\quad 10\cdot (1013)+(5)\equiv 3\cdot 2\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10135\equiv 6 \quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}[/tex]

Portanto, o valor do resto da divisão de 10135 por 7 é 6 (esta é a resposta).

─────

Outra forma de responder esta tarefa é escrever:

     [tex]10135=10100+35=101\cdot 100+35.[/tex]

Mas temos as seguintes congruências:

     [tex]\left\{\begin{array}{l}101=7\cdot 14+3\quad\Longleftrightarrow\quad 101\equiv 3\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ 100=7\cdot 14+2 \quad\Longleftrightarrow\quad 100\equiv 2\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ 35=7\cdot 5\quad\Longleftrightarrow\quad 35\equiv 0\quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}\right.[/tex]

Logo, pelas propriedades de congruências, temos

     [tex]\begin{array}{l} 101\cdot 100+35\equiv 3\cdot 2+0\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10135\equiv 6\quad(\mathrm{mod~}7).\end{array}[/tex]

Novamente, chegamos ao mesmo resultado.

Resposta: alternativa A.

Saiba mais sobre critério de divisibilidade e resto da divisão por 7: https://brainly.com.br/tarefa/50178971

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Bons estudos! :-)

Resposta:

Letra A - O valor do resto da divisão é 6.

Explicação passo a passo: