O conceito de congruência, bem como o conceito de divisibilidade admite algumas propriedades elementares, notação através da qual essa noção tornou um dos instrumentos mais poderosos da teoria dos números, portanto leia as alternativas a seguir analisando se são falsas ou verdadeiras:
Pela definição de módulo: seja m > 1 um número inteiro. Diz-se que a e b (também inteiros) são congruentes módulo m se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m, então a ≡ b mod(m).
Umas das propriedades é que a e b estabelece uma equivalência por estarem na mesma classe (possuem o mesmo resto), onde a diferença entre eles é divisível pelo seu módulo. a ≡ b mod(m) ↔ a - b é divisível por m. Sendo assim:
I) 51 ≡ 242 mod(12) 51 - 242 = -191 -191 = 12 x -16 + 1 A diferença deixa resto 1, logo FALSO.
II) 65 ≡ - 90 mod(5) 65 - (-90) = 155 155 = 5 x 31 + 0 A diferença não deixa resto, logo VERDADEIRO.
III) 80 ≡ - 123 mod(4) 80 - (-123) = 203 203 = 4 x 50 + 3 A diferença deixa resto 3, logo FALSO.
IV) -44 ≡ 604 mod(9) -44 - 604 = -648 -648 = 9 x -72 + 0 A diferença não deixa resto, logo VERDADEIRO.
V) 243 ≡ 117 mod(7) 243 - 117 = 126 126 = 7 x 18 + 0 A diferença não deixa resto, logo VERDADEIRO.
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Pela definição de módulo: seja m > 1 um número inteiro. Diz-se que a e b (também inteiros) são congruentes módulo m se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m, então a ≡ b mod(m).Umas das propriedades é que a e b estabelece uma equivalência por estarem na mesma classe (possuem o mesmo resto), onde a diferença entre eles é divisível pelo seu módulo. a ≡ b mod(m) ↔ a - b é divisível por m. Sendo assim:
I) 51 ≡ 242 mod(12)
51 - 242 = -191
-191 = 12 x -16 + 1
A diferença deixa resto 1, logo FALSO.
II) 65 ≡ - 90 mod(5)
65 - (-90) = 155
155 = 5 x 31 + 0
A diferença não deixa resto, logo VERDADEIRO.
III) 80 ≡ - 123 mod(4)
80 - (-123) = 203
203 = 4 x 50 + 3
A diferença deixa resto 3, logo FALSO.
IV) -44 ≡ 604 mod(9)
-44 - 604 = -648
-648 = 9 x -72 + 0
A diferença não deixa resto, logo VERDADEIRO.
V) 243 ≡ 117 mod(7)
243 - 117 = 126
126 = 7 x 18 + 0
A diferença não deixa resto, logo VERDADEIRO.
Resposta B