O que eu faço quando uma função tem 3 ou mais condições como nas fotos em anexo? Qual eu uso pra faz.... Pergunta de ideia deQueenOfPain

December 2019 1 66 Report

O que eu faço quando uma função tem 3 ou mais condições como nas fotos em anexo? Qual eu uso pra fazer limite, etc?

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paulomathematikus 2. Seja F(x)=

I.-x se x ≤ -1
II.1-x² e -1<x<1
III.x-1 se x ≥ 1

Para calcular $\lim_{x \to \ 1} F(x)$ e $\lim_{x \to \ -1} F(x)$ ,é preciso abrir os limites laterais.Veja:

I. $\lim_{x \to \ 1+} F(x) = \lim_{x \to \ 1+} x-1=0$

II. $\lim_{x\to \ 1-} F(x) = \lim_{x \to \ 1-} 1-x^2=0$

Como esses limites acimas são iguais,então:

$\lim_{x\to \ 1} F(x)=0$

III. $\lim_{x \to \ -1+} F(x)= \lim_{x\to \ -1+} 1-x^2=0$

IV. $\lim_{x \to \ -1-} F(x)= \lim_{x \to \ -1-} -x=1$

Como os limites acima diferem,então:

$\lim_{x \to \ -1} F(x)$ não existe.

5.Seja F(x)=

I.x-√(x²-3x) se x<0
II.x²+1 se 0 ≤ x ≤1
III.2x se 1 ≤ x ≤ π
IV.sen(2πx)/x se x ≥ π

a)Para ser diferenciável em 0,a função deve ser contínua em 0.Vamos verificar isso abrindo os limites laterais.

I. $\lim_{x \to \ 0+} F(x)= \lim_{x \to \ 0+} x^2+1=1$

II. $\lim_{x \to \ 0-} F(x)= \lim_{x \to \ 0-} x- \sqrt{x^2-3x} =0$

Como os limites acima diferem,a função não é contínua em 0 e,consequentemente,também não é diferenciável em 0.

b)De forma análoga ao item a,vamos primeiramente verificar se F é contínua em 1:

I. $\lim_{x \to \ 1-} F(x)= \lim_{x \to \ 1-} x^2+1=2$

II. $\lim_{x \to \ 1+} F(x)= \lim_{x\to \ 1+} 2x =2$

Já que tais limites são iguais:

$\lim_{x \to \ 1} F(x)=2$ =F(1) (ou seja,F,de fato,é contínua em 1).

Com isso,agora verificaremos se a função é diferenciável em 1.Para tal,este limite deve existir:

$\lim_{x \to \ 1} (F(x)-2)/(x-1)$

Vamos abrir os limites laterais mais uma vez:

I. $\lim_{x \to \ 1+} (F(x)-2)/(x-1)$ = $\lim_{x \to \ 1+} (2x-2)/(x-1)= \lim_{x \to \ 1+} 2(x-1)/(x-1)=2$

II. $\lim_{x \to \ 1-} (F(x)-2)/(x-1)$ = $\lim_{x \to \ 1-} (x^2+1-2)/(x-1)= \lim_{x \to \ 1-} (x+1)(x-1)/(x-1)=2$

Como eles resultaram no mesmo valor,então f é diferenciável em 1.

c)Abrindo os limites laterais:

I. $\lim_{x \to \ \pi+ } F(x) = \lim_{x \to \pi+} sen(2 \pi *x)/x=sen(2 \pi ^2)/ \pi$

II. $\lim_{x \to \ \pi -} F(x)= \lim_{x \to \ \pi-} 2x=2 \pi$

Estes limites são desiguais,logo F não é contínua em π.

d)f'(-1)=(x-√(x²-3x))' aplicada em x = -1

Isso resulta em:

1-(x²-3x)^(-1/2)/(2)*(2x-3)

Logo:

f'(-1)=1-(1/2)/(2) * (-5)=1+(5/4)=9/4

QueenOfPain Mas por que eu uso 1-x² pra fazer o limite tendendo a -1 e não -x?

QueenOfPain ahhh entendi, pode deixar

QueenOfPain muito obrigada!

paulomathematikus Realmente quando uma função é dada por partes os cálculos se tornam mais trabalhosos

paulomathematikus De nada! :)

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