Como mdc(4, 5) = 1, podemos multiplicar ambos os lados da congruência por um representante da classe inversa do 4, módulo 5, e obtemos uma congruência equivalente.
Observe que [tex]4\cdot 4=16\equiv 1\pmod{5}.[/tex] Portanto, o 4 é um representante de sua própria classe inversa, módulo 5.
Nitoryu
Só uma pergunta, porque no primeiro caso 2^{4k+1} ≡ 4k + 1 mod 5 virou 2 ≡ 4k + 1, você usou o teorema de Fermat?
Lukyo
Poderia justificar por Fermat também, mas não precisei. Usei o fato de que se o expoente deixa resto 1 na divisão por 4, então o resto é 2 (o primeiro resto da lista)..
Lukyo
... então o resto da potência de 2 na divisão por 5 é 2 nesse caso
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Resposta:
Conjunto solução:
[tex]S=\{20q+r:~~r\in\{17,\,14,\,3,\,16\}~~\mathrm{e}~~q\in\mathbb{N}\}.[/tex]
Explicação passo a passo:
Resolver a equação de congruência modular:
[tex]2^n\equiv n\pmod{5}\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
Analisemos o que acontece as potências de 2 na aritmética módulo 5:
[tex]2^1=2\equiv 2\pmod{5}[/tex]
[tex]2^2=4\equiv 4\pmod{5}[/tex]
[tex]2^3=8=5+3\\ 2^3\equiv 3\pmod{5}[/tex]
[tex]2^4=16=5\cdot 3+1\\ 2^4\equiv 1\pmod{5}[/tex]
Observamos que para potências de 2 com expoentes maiores que 4, o ciclo de restos de repetirá nesta ordem a cada 4 unidades:
2 ⟼ 4 ⟼ 3 ⟼ 1 ⟼ 2 ⟼ 4 ⟼ 3 ⟼ 1 ⟼ ...
Então, dado um k ∈ ℕ qualquer, segue que
[tex]2^{4k+1}\equiv 2\pmod{5}\qquad\mathrm{(ii)}\\\\ 2^{4k+2}\equiv 4\pmod{5}\qquad\mathrm{(iii)}\\\\ 2^{4k+3}\equiv 3\pmod{5}\qquad\mathrm{(iv)}\\\\ 2^{4k}\equiv 1\pmod{5}\qquad\mathrm{(v)}[/tex]
sendo estes todos os casos possíveis.
Para resolver a equação (i), basta analisar cada uma das quatro possibilidades:
Substituindo na equação (i), temos
[tex]\Longrightarrow\quad 2^{4k+1}\equiv 4k+1\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\equiv 4k+1\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k+1\equiv 2\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k\equiv 2-1\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k\equiv 1\pmod{5}[/tex]
Como mdc(4, 5) = 1, podemos multiplicar ambos os lados da congruência por um representante da classe inversa do 4, módulo 5, e obtemos uma congruência equivalente.
Observe que [tex]4\cdot 4=16\equiv 1\pmod{5}.[/tex] Portanto, o 4 é um representante de sua própria classe inversa, módulo 5.
Multiplicando ambos os lados por 4, temos
[tex]\Longleftrightarrow\quad 4\cdot 4k\equiv 4\cdot 1\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 16k\equiv 4\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 15k+k\equiv 4\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k\equiv 4\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=5q+4,\quad\exists q\in\mathbb{N}[/tex]
Portanto, substituindo em [tex]n=4k+1,[/tex] temos
[tex]\Longrightarrow\quad n=4(5q+4)+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=20q+16+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=20q+17\qquad\mathrm{(vi)}[/tex]
Substituindo na equação (i), temos
[tex]\Longrightarrow\quad 2^{4k+2}\equiv 4k+2\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4\equiv 4k+2\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k+2\equiv 4\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k\equiv 4-2\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k\equiv 2\pmod{5}[/tex]
Multiplicando ambos os lados por 4, temos
[tex]\Longleftrightarrow\quad 4\cdot 4k\equiv 4\cdot 2\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 16k\equiv 8\equiv 3\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 15k+k\equiv 3\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k\equiv 3\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=5q+3,\quad\exists q\in\mathbb{N}[/tex]
Substituindo em [tex]n=4k+2,[/tex] temos
[tex]\Longrightarrow\quad n=4(5q+3)+2\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=20q+12+2\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=20q+14\qquad\mathrm{(vii)}[/tex]
Substituindo na equação (i), temos
[tex]\Longrightarrow\quad 2^{4k+3}\equiv 4k+3\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3\equiv 4k+3\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k+3\equiv 3\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k\equiv 3-3\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k\equiv 0\pmod{5}[/tex]
Multiplicando ambos os lados por 4, temos
[tex]\Longleftrightarrow\quad 4\cdot 4k\equiv 4\cdot 0\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 16k\equiv 0\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 15k+k\equiv 0\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k\equiv 0\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=5q,\quad\exists q\in\mathbb{N}[/tex]
Substituindo em [tex]n=4k+3,[/tex] temos
[tex]\Longrightarrow\quad n=4(5q)+3\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=20q+3\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=20q+3\qquad\mathrm{(viii)}[/tex]
Substituindo na equação (i), temos
[tex]\Longrightarrow\quad 2^{4k}\equiv 4k\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1\equiv 4k\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k\equiv 1\pmod{5}[/tex]
Multiplicando ambos os lados por 4, temos
[tex]\Longleftrightarrow\quad 4\cdot 4k\equiv 4\cdot 1\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 16k\equiv 4\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 15k+k\equiv 4\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k\equiv 4\pmod{5}\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=5q+4,\quad\exists q\in\mathbb{N}[/tex]
Substituindo em [tex]n=4k,[/tex] temos
[tex]\Longrightarrow\quad n=4(5q+4)\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=20q+16\qquad\mathrm{(ix)}[/tex]
A solução para a equação (i) é a reunião das soluções (vi), (vii), (viii) e (ix) encontradas para cada caso:
[tex]S=\{20q+r:~~r\in\{17,\,14,\,3,\,16\}~~\mathrm{e}~~q\in\mathbb{N}\}.[/tex]
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Bons estudos! :-)