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Tendo o conhecimento necessário sobre equações irracionais, concluímos que o conjunto solução da equação apresentada é:

                                            [tex]\Large\boxed{\boxed{\bf S = \{1\}}} ~~~~\checkmark[/tex]

Equações irracionais:

Conceituação:

• São todas e quaisquer igualdades cuja incógnita a qual quer se descobrir seu(s) valor(es) está dentro de um radical.
• Por exemplo [tex]\sf \sqrt{x - 1} = 3[/tex], em que x = 10.

Resolução:

Alguns produtos notáveis a se relembrar:

Antes de mais nada, vamos relembrar alguns produtos notáveis que serão essenciais para a nossa resolução:

- Quadrado da soma:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ \left(a + b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ~~~~\left(i\right)}$}[/tex]

- Diferença entre quadrados:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ a^2 - b^2 = \left(a + b\right)\cdot \left(a - b\right) ~~~~\left(ii\right)}$}[/tex]

Condição de existência:

Nos reais, não podemos ter o radicando negativo, portanto:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ a^2 - 1 \geq 0}$}[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ a^2 - 1^2 \geq 0}$}[/tex]

Pelo produto notável da diferença entre quadrados, temos:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ a^2 - 1^2 \geq 0}$}[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ \left(a + 1\right)\cdot\left(a - 1\right) \geq 0}$}[/tex]

Resolvendo a inequação-produto estudando os sinais das funções [tex]\sf f\left(a\right) = a + 1 ~~~e ~~~ f\left(a\right) = a - 1[/tex], temos:

[tex]\boxed{\bf S = \{a \in \mathbb{R} \mid a \geq 1 ~ ~e~~ a \leq -1\}} ~~~~{\sf \left(iii\right)}$}[/tex]

Portanto, a(s) solução(ões) da equação irracional apresentada deve obedecer as condições de existência dadas.

Resolvendo a equação irracional:

O objetivo da questão é resolver, em [tex]\mathbb{R}[/tex], a seguinte equação irracional:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ \sqrt{a + \sqrt{a^2 - 1} } + \sqrt{a - \sqrt{a^2 - 1} } = 2a ~~~~\left(iv\right)}$}[/tex]

Eleve ambos os lados ao quadrado:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ \sqrt{a + \sqrt{a^2 - 1} } + \sqrt{a - \sqrt{a^2 - 1} } = 2a}$}[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ \left(\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 1} } + \sqrt{a - \sqrt{a^2 - 1} }\right)^2 = \left(2a\right)^2}$}[/tex]

Por (i), simplificamos o lado esquerdo, e também o lado direito:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ \left(\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 1} } + \sqrt{a - \sqrt{a^2 - 1} }\right)^2 = \left(2a\right)^2}$}[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow \left(\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 1} }\right)^2 + 2 \sqrt{a + \sqrt{a^2 - 1} } \sqrt{a - \sqrt{a^2 - 1} } + \left(\sqrt{a - \sqrt{a^2 - 1} }\right)^2 = 4a^2[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ a + \sqrt{a^2 - 1} }\ + 2 \sqrt{\left(a + \sqrt{a^2 - 1} \right) \left(a - \sqrt{a^2 - 1} \right)} + a - \sqrt{a^2 - 1} = 4a^2[/tex]

Por (ii), continue simplificando o maior dentre os radicandos e o resto da expressão:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ a + \sqrt{a^2 - 1} }\ + 2 \sqrt{\left(a + \sqrt{a^2 - 1} \right) \left(a - \sqrt{a^2 - 1} \right)} + a - \sqrt{a^2 - 1} = 4a^2[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ a + \sqrt{a^2 - 1} }\ + 2 \sqrt{a^2 - \left(a^2 - 1\right) } + a - \sqrt{a^2 - 1} = 4a^2[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ a + \sqrt{a^2 - 1} }\ + 2 \sqrt{a^2 - a^2 + 1\right) } + a - \sqrt{a^2 - 1} = 4a^2[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ a + \sqrt{a^2 - 1} }\ + 2 \sqrt{ 1\right) } + a - \sqrt{a^2 - 1} = 4a^2[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ a + \sqrt{a^2 - 1} }\ + 2 + a - \sqrt{a^2 - 1} = 4a^2[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ 2a + 2 + \sqrt{a^2 - 1} } - \sqrt{a^2 - 1} = 4a^2[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ 2a + 2 = 4a^2[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ 4a^2 - 2a - 2 = 0[/tex]

Obtemos uma equação polinomial de grau dois, cuja iremos resolver via fatoração por agrupamento.

Reescreva convenientemente o termo "-2a" como "-4a + 2a":

[tex]\sf \Longrightarrow ~ 4a^2 - 2a - 2 = 0[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ 4a^2 - 4a + 2a - 2 = 0[/tex]

Agrupe, de dois em dois:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ 4a^2 - 4a + 2a - 2 = 0[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ \left(4a^2 - 4a\right) + \left(2a - 2\right) = 0[/tex]

No 1° grupo (mais a esquerda) coloque o fator comum 4a em evidência, já no 2° grupo (mais a direita) coloque o fator comum 2 em evidência:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ \left(4a^2 - 4a\right) + \left(2a - 2\right) = 0[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ 4a\left(a - 1\right) + 2\left(a - 1\right) = 0[/tex]

Agora coloque o fator comum (a - 1) em evidência:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ 4a\left(a - 1\right) + 2\left(a - 1\right) = 0[/tex]

[tex]\sf \Longleftrightarrow ~ \left(a - 1\right) \cdot \left(4a + 2\right) = 0[/tex]

A última operação obtida é um produto entre dois fatores com resultado nulo, portanto, algum desses fatores deve ser igual a zero, portanto, analisaremos os casos em que cada um deles é igual a 0 (zero):

[tex]\sf \Longrightarrow a - 1 = 0 ~~~~\left(v\right)[/tex]

[tex]\sf \Longrightarrow ~ 4a + 2 = 0 ~~~~\left(vi\right)[/tex]

Resolvendo as duas equações, obtemos:

[tex]\sf \Longrightarrow ~ \boxed{\bf a = 1} ~~~~\sf \left(vii\right)[/tex]

[tex]\sf \Longrightarrow ~ \boxed{\bf a = -\dfrac{1}{2}} ~~~~\sf \left(viii\right)[/tex]

Veja que (viii) não satisfaz a condição de existência do radicando em (iii), portanto, apenas consideramos a solução dada por (vii).

Conclusão:

Portanto, por (vii), concluímos que o conjunto solução da equação irracional apresentada é dada por:

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~~}$}\Large\boxed{\boxed{\bf S = \{1\}}} ~~~~\Large\text{${\sf \checkmark}$}[/tex]

Dúvidas? Comente.

Bons estudos.

Espero ter ajudado❤.

Veja mais sobre equações irracionais:

brainly.com.br/tarefa/55545943

Resposta:

[tex]\Large \textsf{Leia abaixo}[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex]\Large \boxed{\sf \sqrt{a + \sqrt{a^2 - 1 }} + \sqrt{a - \sqrt{a^2 - 1}} = 2a}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\sf b = \sqrt{a^2 - 1}}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\sf \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} = 2a}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\sf (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})^2 = (2a)^2}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\sf (a + b) + 2a^2 - 2b^2 + (a - b) = 4a^2}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\sf a - 2a^2 +2 + a = 2a^2}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\sf 4a^2 - 2a - 2 = 0}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\sf 2a^2 + a - 2a - \dfrac{1}{2} = 0}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\sf a^2 + \dfrac{a}{2} - a - \dfrac{1}{2} = 0}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\sf a\:.\:(a - 1) + \dfrac{1}{2}\:.\:(a - 1) = 0}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\sf (a - 1)\:.\:(a + 1/2) = 0}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\boxed{\sf S = \{1\}}}[/tex]