Foi possível demonstrar o teorema fundamental da aritmética.

Teorema fundamental da aritmética

Para provar o teorema fundamental da aritmética, temos que provar a existência e a unicidade da fatoração prima. Assim, o teorema fundamental da prova aritmética é feito em duas etapas. Vamos provar que para todo inteiro, n ≥ 2, ele pode ser expresso como o produto de primos de uma forma única: n = p1 × p2 ×⋯ × pi.

Passo 1 - Existência de Fatorização Primária

Vamos provar isso usando indução matemática.

Passo Básico: A afirmação é verdadeira para n = 2.

Etapa da suposição: vamos supor que a afirmação seja verdadeira para n = k.

Então, k pode ser escrito como o produto de primos. Passo de Indução: Vamos provar que a afirmação é verdadeira para n = k + 1. Se k + 1 for primo, então o caso é óbvio. Se k + 1 NÃO é primo, então definitivamente tem algum fator primo, digamos p. Então k + 1 = pj, onde j < k →(1)

Como j < k, pelo "passo indutivo", k pode ser escrito como o produto de primos. Assim, de (1), k + 1 também pode ser escrito como o produto de primos. Assim, pela indução matemática, fica provada a "existência de fatoração".

Etapa 2 - Unicidade da Fatoração Primária

Vamos assumir que n pode ser escrito como o produto de primos de duas maneiras diferentes, digamos,

• n = p1p2⋯pi, ou,
• n= q1q2⋯qj

Uma vez que estes são fatores primos, q1,q2,…,qj são números coprimos (pois são números primos). Portanto, pelo lema de Euclides, p1 divide apenas um dos primos. Notemos que q1 é o menor número primo e assim p1= q1. Da mesma forma, podemos provar que pn = qn, para todo n. Portanto, i = j. Assim, a fatoração primária de n é única.

Saiba mais sobre o Teorema fundamental da aritmética:https://brainly.com.br/tarefa/54034744

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