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Através da fórmula para a soma dos termos de uma progressão aritmética, obtemos 467277 como o valor para a soma S.

Progressão aritmética (P.A.)

Uma sequência de números reais é chamada de progressão aritmética se a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos desta sequência é uma constante. Tal constante é a razão da P.A.

O objetivo dessa tarefa é reescrever a expressão de S mais simplificadamente, de modo que identifiquemos suas parcelas como termos de uma P.A.

Calcular o valor da soma

     [tex]S=2022^2-2021^2+2020^2-2019^2+\cdots +1778^2-1777^2[/tex]

• Passo 1: Reunir convenientemente as parcelas de S.

Agrupe todas as diferenças entre os quadrados de dois termos consecutivos utilizando parênteses:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad S=(2022^2-2021^2)+(2020^2-2019^2)+\cdots +(1778^2-1777^2)\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

• Passo 2: Simplificar a diferença entre quadrados.

Para cada uma das diferenças, aplicamos a fórmula a seguir para a diferença entre dois quadrados (produtos notáveis):

     [tex](n+1)^2-n^2=((n+1)+n)((n+1)-n)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (n+1)^2-n^2=(2n+1)\cdot 1\\\\ \Longleftrightarrow\quad (n+1)^2-n^2=2n+1\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Aplicando a fórmula (ii) para valores de n de 1777 até 2021, a passo de duas unidades, a expressão (i) fica

     [tex]\Longleftrightarrow\quad S=(2\cdot 2021 +1)+(2\cdot 2019+1)+\cdots +(2\cdot 1779+1)+(2\cdot 1777+1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad S=4043+4039+4035+\cdots +3559+3555\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

• Passo 3: Identificar a lei de formação das parcelas da soma S.

Identificamos S com a soma dos termos uma progressão aritmética, de modo que

➢ o seu primeiro termo é [tex]a_1=4043.[/tex]

➢ a razão é r = - 4.

A fórmula do termo geral para as parcelas de S é dada por

     [tex]a_k=a_1+(k-1)r\\\\ \Longrightarrow\quad a_k=4043+(k-1)(-4)\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_k=4043-4k+4\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_k=4047-4k\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

com k pertencente ao conjunto dos números naturais.

• Passo 4: Encontrar a quantidade de parcelas da soma S.

Sendo k a posição do último termo, por (iv) devemos ter

     [tex]a_k=3555\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4047-4k=3555\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k=4047-3555\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4k=492\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=\dfrac{492}{4}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad k=123[/tex]

Portanto, a soma S escrita em (iii) possui 123 parcelas.

• Passo 5: Encontrar o valor de S pela fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética.

Com os valores conhecidos, aplicamos a fórmula para a soma das 123 parcelas de S, e obtemos:

     [tex]S=\dfrac{(a_1+a_k)\cdot k}{2}\\\\\\ \Longrightarrow\quad S=\dfrac{(a_1+a_{123})\cdot 123}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad S=\dfrac{(4043+3555)\cdot 123}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad S=\dfrac{7598\cdot 123}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad S=3799\cdot 123\\\\ \Longleftrightarrow\quad S=467277\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}[/tex]

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Bons estudos!