Explicação passo-a-passo:

1. O 6º número triangular é dado pela fórmula: T6 = 6(6 + 1)/2 = 21. Portanto, o valor do 6º número triangular é 21.

2. O valor de T7, T8 e T9 são obtidos pela mesma fórmula, substituindo n por 7, 8 e 9, respectivamente. Assim, temos:

a) T7 = 7(7 + 1)/2 = 28

b) T8 = 8(8 + 1)/2 = 36

c) T9 = 9(9 + 1)/2 = 45

3. Sabendo que o 11º número triangular é igual a 66, podemos usar a propriedade de que a soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito. Assim, temos:

T11 + T12 = (T12 - T11)²

66 + T12 = (T12 - 66)²

Expandindo o quadrado e simplificando, obtemos:

T12² - 132T12 + 4356 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos:

T12 = 78 ou T12 = -56

Como T12 deve ser um número natural, descartamos a solução negativa e concluímos que T12 = 78.

4. A sequência dos 20 primeiros números triangulares é:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190.

5. Podemos determinar o valor de Tn a partir do termo anterior usando a relação:

Tn = T(n-1) + n

Isso significa que, para obter o próximo número triangular, basta somar o número natural correspondente ao termo anterior. Por exemplo, para obter T5, basta somar 5 ao termo anterior, que é T4 = 10. Assim, T5 = 10 + 5 = 15.

6. Para mostrar que a soma do 9º e do 10° número triangular é igual a 100, basta usar a fórmula dos números triangulares e substituir n por 9 e 10, respectivamente. Assim, temos:

T9 + T10 = 9(9 + 1)/2 + 10(10 + 1)/2

T9 + T10 = 45 + 55

T9 + T10 = 100

7. Para verificar se a soma do 14º com o 15º número triangular é um quadrado perfeito, basta usar a fórmula dos números triangulares e substituir n por 14 e 15, respectivamente. Assim, temos:

T14 + T15 = 14(14 + 1)/2 + 15(15 + 1)/2

T14 + T15 = 105 + 120

T14 + T15 = 225

Como 225 é um quadrado perfeito, pois √225 = 15, concluímos que a soma do 14º com o 15º número triangular é um quadrado perfeito.