Sejam as funções f(x) = 3x - 4 e g(x) = x²+2x +1 , é correto afirmar que a soma dos valores das raízes da equação dada por f(g(x)) = g(f(x)) é exatamente igual a
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Temos que:
f(g(x)) = f(3x²+2x+1) = 3(x² + 2x + 1) - 4 = 3x² + 6x + 3 - 4 = 3x² + 6x -1
g(f(x)) = g(3x-4) = (3x-4)² + 2(3x - 4) + 1 = 9x² - 24x + 16 + 6x - 8 + 1
= 9x² - 18x + 9
Igualando as duas funções:
f(g(x)) = g(f(x))
3x² + 6x -1 = 9x² - 18x + 9
(9x² - 3x²) - (18x + 6x) + (9 + 1) = 0
6x² - 24x + 10 = 0 (divide tudo por 2)
3x² - 12x + 5 = 0
Achando o discriminante:
Δ = b² - 4.a.c = (-12)² - 4.3.5 = 144 - 60 = 84
Então as raízes são:
x' = (-b + √Δ)/2a = -(-12)+√84/6 = (12 + √84)/6
e x'' = (12 - √84)/6
Somando as duas raízes, temos que:
Resposta: Soma das raízes = 4.