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Desejamos resolver analiticamente a seguinte equação:

             [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\ell n(x)+\ell n(-x) =0\ ,\ x\in \mathbb{C} \end{gathered}$}[/tex]

Para isso, vale lembrar a seguinte propriedade: [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} a^{\ell og_a b} = b\end{gathered}$}[/tex] , e como sabemos que o logaritmo natural [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\ell n(x)\end{gathered}$}[/tex] é a mesma coisa que [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\ell og_{e} (x)\end{gathered}$}[/tex], podemos elevar o número de Euler em ambos os lados da eq, ficando da seguinte forma:

 [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}e^{\left[\ell n(x)+\ell n(-x) \right]}=e^0 \end{gathered}$}[/tex]

Utilizando a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, temos que:

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}e^{\ell n (x) } \cdot e^{\ell n (-x)} = 1\end{gathered}$}[/tex]

Que simplificando com a propriedade [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} a^{\ell og_a b} = b\end{gathered}$}[/tex]:

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x \cdot (-x)=1\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}-x^2=1\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^2=-1\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x=\pm \ \sqrt{-1}\end{gathered}$}[/tex]

Lembrando que [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sqrt{-1}=i\end{gathered}$}[/tex] , logo:

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{S=\{ ( i\ ,-i )\}}\end{gathered}$}[/tex]

Qualquer dúvida quanto a resolução dada é só chamar!

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/30412805

Resposta:

[tex]\textsf{Leia abaixo}[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex]\sf ln(x) + ln(-x) = 0[/tex]

[tex]\sf ln(x)\:.\:(-x) = 0[/tex]

[tex]\sf ln\:[-(x^2)\:] = 0[/tex]

[tex]\sf ln\:[-(x^2)\:] = ln\:e^0[/tex]

[tex]\sf -x^2 = 1[/tex]

[tex]\sf x^2 = -1[/tex]

[tex]\sf x = \pm\:\sqrt{-1}[/tex]

[tex]\sf x = \pm\:i[/tex]

[tex]\boxed{\boxed{\sf S = \{i,\:-i\}}}[/tex]