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Resposta:

[tex]S=\{0,1\}[/tex]

Explicação passo a passo:

Somente dois valores satisfazem essa equação: 0 e 1. Veja:

Se x = 1:

[tex]x^{ln2}-x^{ln5}=0\\[/tex]

[tex]1^{ln2}-1^{ln5}=0\\[/tex]

[tex]1-1=0[/tex]

Se x = 0:

[tex]x^{ln2}-x^{ln5}=0\\[/tex]

[tex]0^{ln2}-0^{ln5}=0\\[/tex]

[tex]0-0=0[/tex]

Qualquer outro valor não satisfaz:

[tex]x^{ln2}-x^{ln5}=0\\[/tex]

[tex]x^{ln2}=x^{ln5}[/tex]

[tex]ln2=ln5[/tex] -----> isso é um absurdo.

Portanto, x só pode ser 0 ou 1.

É uma espécie de pegadinha. O logaritmo neperiano é só para confundir. Esse tipo de equação sempre dá o mesmo resultado. Veja outro exemplo: [tex]x^2-x^5=0[/tex]. A solução é a mesma.