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O resultado dessa expressão resulta em:

[tex]x = \log_{\frac{3}{2}}( \frac{1+\sqrt{5}}{2}) \\\\ou\\\\x = \frac{\log(\frac{1+\sqrt 5}{2})}{log \frac{3}{2}}[/tex]

• Explicação

Para resolver a equação, para qualquer número real, primeiramente podemos dividir toda a equação por [tex]4^x[/tex], de forma a simplificar o primeiro termo para 1.

[tex]4^x+6^x=9^x (\div 4^x)\\\\\\(\frac{4^x}{4^x}) + (\frac{6^x}{4^x}) = (\frac{9^x}{4^x})\\\\\\1 +(\frac{6}{4})^x=(\frac{9}{4})^x\\\\\\1+(\frac{3}{2})^x = ((\frac{3}{2})^2)^x\\\\\\1+(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^{2x}\\\\\\[/tex]

Podemos adicionar uma variável de forma a simplificar a resolução. Vamos fazer a seguinte substituição:

[tex]y = (\frac{3}{2})^x\\\\\\y^2 = (\frac{3}{2})^{2x}[/tex]

Dessa forma, ficamos com a seguinte expressão:

[tex]1 + y = y^2[/tex]

Que é uma equação do 2ª Grau. Resolvendo-a, ficamos com:

[tex]y^2-y-1=0\\\\\fbox{a = 1; b = -1; c = -1}\\\\\Delta = b^2-4\cdot a\cdot c\\\\\Delta = (-1)^2-4\cdot (1)\cdot (-1)\\\\\Delta = 1+4= 5\\\\\\Bhaskara \\\\y = \frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2\cdot a}\\\\\\y_1 = \frac{-(-1)+\sqrt5}{2\cdot (1)} = \frac{1+\sqrt5}{2}\\\\y_2 = \frac{-(-1)-\sqrt5}{2\cdot (1)} = \frac{1-\sqrt5}{2}\\[/tex]

Chegamos em dois resultados. Repare que, como definimos anteriormente [tex]y = (\frac{3}{2})^x\\[/tex]. Logo, o valor de y, por se tratar de uma potência, não pode admitir um valor negativo. Nesse caso, o valor de [tex]y_2[/tex] que obtivemos deve ser desconsiderado.

Sendo assim, temos que:

[tex]y = \frac{1+\sqrt5}{2}\\\\(\frac{3}{2})^x = \frac{1+\sqrt5}{2}\\\\[/tex]

Aplicando as propriedades de Logaritmo, temos que:

[tex]b^c=a \Leftrightarrow \log_b a = c[/tex]

[tex](\frac{3}{2})^x = \frac{1+\sqrt5}{2}\\\\\\x = \log_{\frac{3}{2}} (\frac{1+\sqrt 5}{2})[/tex]

Utilizando uma calculadora e realizando a operação acima, chegamos ao um valor de:

[tex]x\approx 1,187[/tex]

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