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Explicação passo-a-passo:

A integral de Lebesgue é uma generalização da integral de Riemann que permite integrar uma classe mais ampla de funções e em domínios mais gerais. Para calcular a integral de Lebesgue de uma função f(t), precisamos primeiro definir uma medida μ que atribui um tamanho a cada subconjunto mensurável do domínio de integração. Uma medida comum é a medida de Lebesgue, que coincide com o comprimento usual dos intervalos na reta real.

No seu caso, a função f(t) é definida por partes em três conjuntos disjuntos: os números racionais, os números irracionais e os números inteiros. Podemos usar a medida de Lebesgue para medir esses conjuntos e obter:

μ(R-Q) = π (o comprimento do intervalo [0,π] sem os pontos racionais)

μ(Q-Z) = 0 (o conjunto dos números racionais sem os inteiros tem medida nula)

μ(Z) = 0 (o conjunto dos números inteiros tem medida nula)

Assim, a integral de Lebesgue de f(t) no intervalo [0,π] é dada por:

∫0πf(t)dμ = ∫0π|cos(t)|dμ + ∫0π|sin(t)|dμ + ∫0π1dμ

= ∫R-Q|cos(t)|dμ + ∫Q-Z|sin(t)|dμ + ∫Z1dμ

= ∫R-Q|cos(t)|dμ + 0 + 0

= ∫R-Q|cos(t)|dμ

Para calcular essa integral, podemos usar o fato de que a função |cos(t)| é contínua e limitada no intervalo [0,π] e, portanto, é integrável a Riemann nesse intervalo. Além disso, a integral de Riemann coincide com a integral de Lebesgue quando a função é integrável a Riemann. Logo, temos:

∫R-Q|cos(t)|dμ = ∫0π|cos(t)|dt

Essa integral pode ser calculada usando as propriedades básicas do cálculo integral, obtendo-se:

∫0π|cos(t)|dt = |sin(t)|0π = |sin(π)| - |sin(0)| = 0 - 0 = 0

Portanto, a integral de Lebesgue da função f(t) no intervalo [0,π] é igual a zero.