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Resposta:

A equação [tex]mx\equiv 1\pmod{15}[/tex] possui solução para a variável x se, e somente se

     [tex]m\in\{15q+r:~~q\in\mathbb{Z}\mathrm{~~e~~}r\in\{1,\,2,\,4,\,7,\,8,\,11,\,13,\,14\}\}.[/tex]

O conjunto solução da equação [tex]13x\equiv 1\pmod{15}[/tex] é

     [tex]S=\{x\in\mathbb{Z}:~x\equiv 7\pmod{15}\}.[/tex]

Explicação passo a passo:

a)

     [tex]mx\equiv 1\pmod{15}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 15\mid mx-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad mx-1=15y,\quad\mathrm{para~algum~}y\in\mathbb{Z}\\\\ \Longleftrightarrow\quad mx-15y=1[/tex]

Temos acima uma equação diofantina linear nas variáveis [tex]x[/tex] e [tex]y.[/tex] Tal equação possui solução se, e somente se

     [tex]\mathrm{mdc}(m,\,-15)=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad \mathrm{mdc}(m,\,15)=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l} 3\nmid m\\\\ 5\nmid m \end{array}\right.[/tex]

isto é, [tex]m[/tex] não pode ser nem múltiplo de 3, nem múltiplo de 5.

Considerando o conjunto de todos os restos na divisão por 15, devemos ter

     [tex]m\in\{15q+r:~~q\in\mathbb{Z}\mathrm{~~e~~}r\in\{1,\,2,\,4,\,7,\,8,\,11,\,13,\,14\}\}.[/tex]

b) Queremos resolver a equação na variável x:

     [tex]13x\equiv 1\pmod{15}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 13x-15y=1[/tex]

Desenvolvendo pelo algoritmo de Euclides, temos

     [tex]15=13+2\\\\ 13=6\cdot 2+1[/tex]

Da última igualdade, temos

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 13-6\cdot 2=1[/tex]

Eliminamos o 2 reescrevendo-o como 15 - 13:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 13-6\cdot (15-13)=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 13-6\cdot 15+6\cdot 13=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 13\cdot (7)-15\cdot 6=1\\\\ \Longrightarrow\quad 13\cdot 7\equiv 1\pmod{15}[/tex]

Multiplicando os dois lados da equação por 7, devemos ter

     [tex]7\cdot 13x\equiv 7\cdot 1\pmod{15}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 91x\equiv 7\pmod{15}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 90x+x\equiv 7\pmod{15}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 7\pmod{15}[/tex]

Portanto, o conjunto solução da equação para [tex]m=13[/tex] é

     [tex]S=\{x\in\mathbb{Z}:~x\equiv 7\pmod{15}\}.[/tex]

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)