Resposta:

Começando com a primeira equação:

2x + 5y ≡ 2 (mod 9)

Subtraindo 9 de ambos os lados, temos:

2x + 5y - 9 ≡ -7 ≡ 2 (mod 9)

Adicionando 9 novamente, temos:

2x + 5y ≡ 11 ≡ 2 (mod 9)

Portanto, podemos escrever:

2x + 5y = 2 + 9k, para algum k inteiro

Agora, analisando a segunda equação:

3x - 4y ≡ 3 (mod 9)

Adicionando 9 de ambos os lados, temos:

3x - 4y + 9 ≡ 12 ≡ 3 (mod 9)

Portanto, podemos escrever:

3x - 4y = 3 + 9m, para algum m inteiro

Podemos resolver esse sistema de equações usando o método de substituição. Isolando x na primeira equação, temos:

2x = 2 + 9k - 5y

x = 1 + (9k - 5y)/2

Substituindo esse valor de x na segunda equação, temos:

3(1 + (9k - 5y)/2) - 4y = 3 + 9m

Expandindo os produtos, temos:

3 + (27k - 15y)/2 - 4y = 3 + 9m

27k - 23y = 18 + 36m

27k = 18 + 23y + 36m

Substituindo valores de y e simplificando, podemos encontrar os valores de k que satisfazem a equação. Os valores possíveis para y em Z9 são {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Testando cada um desses valores, encontramos que y = 6 e k = 5 satisfazem a equação.

Portanto, substituindo y = 6 e k = 5 nas equações originais, temos:

2x + 5y = 2 + 9k

2x + 5(6) = 2 + 9(5)

2x = 43

x = 7

3x - 4y = 3 + 9m

3(7) - 4(6) = 3 + 9m

9m = 15

m = 5/3

No entanto, estamos trabalhando em Z9, que não inclui frações. Portanto, precisamos encontrar uma solução equivalente em Z9. Como 5/3 ≡ 2 (mod 9), podemos substituir m = 2 e obter:

x = 7 e y = 6 e m = 2

Portanto, a solução do sistema é (7, 6, 2) em Z9. A resposta correta é a alternativa C: S = {(5 ̅,6 ̅)}.

Explicação passo a passo: