Uma indústria farmacêutica produz comprimidos que tem a forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em suas extremidades, conforme representado na figura. Sabendo que o diâmetro da base da semiesfera e a altura do cilindro medem, cada um, 12, determine a quantidade mínima de material utilizado para realizar a embalagem de um desses comprimidos.
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Resposta:
Para encontrar a quantidade mínima de material utilizada na embalagem de um comprimido, precisamos calcular a área total da superfície do comprimido.
A área total da superfície é a soma da área lateral do cilindro, das áreas das duas bases do cilindro e das áreas das duas semiesferas.
Começando com a área lateral do cilindro, sabemos que a altura do cilindro é 12 e o diâmetro da base é 12, então o raio da base é 6. A área lateral do cilindro é dada por:
A = 2πrh
A = 2π(6)(12)
A = 144π
A área de uma base do cilindro é dada por:
A = πr^2
A = π(6)^2
A = 36π
Portanto, a área das duas bases do cilindro é 72π.
A área de cada semiesfera é metade da área de uma esfera completa com o mesmo diâmetro da base do cilindro. O diâmetro da base do cilindro é 12, então o raio é 6. A área de uma esfera é dada por:
A = 4πr^2
A = 4π(6)^2
A = 144π
A área de uma semiesfera é metade disso, ou seja, 72π. Portanto, a área das duas semiesferas é 144π.
Assim, a área total da superfície é:
A = 144π + 72π + 72π
A = 288π
Portanto, a quantidade mínima de material utilizada para realizar a embalagem de um comprimido é 288π.