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x = -2

y = 0

z = 1

w = 6

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Uma das maneiras de se resolver um sistema é pelo método do escalonamento.

No nosso caso

[tex]\left\{\begin{aligned} x+y+z\:\:\:\:\:\: &= -1\\ x\:\:\:\:\:\:+z+w &= 5\\\:\:\:\:\:\:y+z+w&=7\\x+y\:\:\:\:\:\:+w&=4\end{aligned}\right.[/tex]

Se resume a

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0&-1 \\ 1 & 0 & 1 & 1&5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 &7 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &4\end{pmatrix}[/tex]

Multiplicando a 1ª linha por (-1) e somando com a 2ª

Multiplicando a 1ª linha por (-1) e somando com a 4ª

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 5\end{pmatrix}[/tex]

Multiplicando a 2ª linha por 1 e somando com a 3ª

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 13 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 5\end{pmatrix}[/tex]

Multiplicando a 3ª linha por 1 e somando com a 4ª

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 18\end{pmatrix}[/tex]

Restando para o sistema

[tex]\left\{\begin{aligned}x + y + z &= -1\\-y + w & = 6\\z + 2w & = 13\\3w & = 18\end{aligned}\right.[/tex]

Começando pela 4ª linha

[tex]3w=18\\\\w = \dfrac{18}{3} \\\\w = 6[/tex]

Substituindo na 3ª linha

[tex]z+2w=13\\\\z+2\cdot 6 = 13\\\\z + 12 = 13\\\\z = 13-12\\\\z = 1[/tex]

Substituindo na 2ª linha

[tex]-y+w=6\\\\-y+6=6\\\\-y = 6-6\\\\-y = 0\\\\y = 0[/tex]

Substituindo na 1ª linha

[tex]x+y+z=-1\\\\x+0+1 = -1\\\\x = -1 - 1\\\\x = -2[/tex]